次の定積分の値を求めよ。
\begin{equation}
\int_0^1 \left( x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \left( 1 + \frac{x}{(1+x^2) \sqrt{1+x^2}} \right) dx
\end{equation}
求める定積分をとします。
\begin{equation}
I = \int_0^1 \left( x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^3}{(1+x^2) \sqrt{1+x^2}} + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \right) dx
\end{equation}と変形できます。
まず、
\begin{equation}
I_1 = \int_0^1 x^2 dx = \biggl[ \ \frac{1}{3} \, x^3 \ \biggr]_0^1 = \frac{1}{3}
\end{equation}です。
次に、
\begin{equation}
\sqrt{1+x^2} = t
\end{equation}と置きます。
積分区間は、
\begin{equation}
1 \leqq t \leqq \sqrt{2}
\end{equation}となります。また、
\begin{equation}
x \, dx = t \, dt
\end{equation}です。これらより、
\begin{eqnarray}
I_2 &=& \int_0^1 \frac{x \, dx}{\sqrt{1+x^2}} \\
&=& \int_1^\sqrt{2} \frac{t \, dt}{t} \\
&=& \int_1^\sqrt{2} \, dt \\
&=& \biggl[ \ t \ \biggr]_1^\sqrt{2} \\
&=& \sqrt{2} -1 \\
I_3 &=& \int_0^1 \frac{x^3 dx}{(1+x^2) \sqrt{1+x^2}} \\
&=& \int_1^\sqrt{2} \frac{(t^2-1)t \, dt}{t^3} \\
&=& \int_1^\sqrt{2} \left( 1 - \frac{1}{t^2} \right) dt \\
&=& \left[ \ t + \frac{1}{t} \ \right]_1^\sqrt{2} \\
&=& \left( \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - 2 \\
&=& \frac{3}{2} \sqrt{2} -2
\end{eqnarray}を得ます。
さらに、
\begin{equation}
x = \tan \theta
\end{equation}と置きます。
積分区間は、
\begin{equation}
0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}
\end{equation}となります。また、
\begin{equation}
dx = (1 + \tan^2 \theta) \, d\theta
\end{equation}です。これより、
\begin{eqnarray}
I_4 &=& \int_0^1 \frac{x^2 dx}{(1+x^2)^2} \\
&=& \int_0^{\pi/4} \frac{\tan^2 \theta (1 + \tan^2 \theta)}{(1 + \tan^2 \theta)^2} \, d\theta \\
&=& \int_0^{\pi/4} \tan^2 \theta \, \cos^2 \theta \, d\theta \\
&=& \int_0^{\pi/4} \sin^2 \theta \, d\theta \\
&=& \int_0^{\pi/4} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta \\
&=& \left[ \ \frac{1}{2} \, \theta - \frac{1}{4} \, \sin 2\theta \ \right]_0^{\pi/4} \\
&=& \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}
\end{eqnarray}を得ます。
以上より、求める定積分は、
\begin{eqnarray}
I &=& I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \\
&=& \frac{1}{3} + \left( \sqrt{2} -1 \right) + \left( \frac{3}{2} \sqrt{2} -2 \right) + \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right) \\
&=& \frac{\pi}{8} + \frac{5}{2} \sqrt{2} - \frac{35}{12}
\end{eqnarray}となります。
解説
まさかの定積分だけの問題です。
何かひねりがあるのかとあれこれと試しましたが、効果はありませんでした。
真正面から計算していくのが最も早かった、という何とも悲しい落ちです。
積分記号の中をバラバラにして項別に置換積分すれば、大して難しくはない問題です。
定積分の置換積分 - 数式で独楽する
