東大 2019年理科第4問 - 数式で独楽する

$n$ を1以上の整数とする。
(1) $n^2 +1$ と $5n^2 +9$ の最大公約数 $d_n$ を求めよ。
(2) $(n^2 +1)(5n^2 +9)$ は整数の2乗にならないことを示せ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

互いに素は整数 $k, l$ を用いて
\begin{eqnarray}
n^2 +1 &=& d_n k \tag{1} \\
5n^2 +9 &=& d_n l \tag{2}
\end{eqnarray}とします。
$n$ を消去します。
\begin{eqnarray}
5(d_n k -1) +9 &=& d_n l \\
d_n(l -5k) &=& 4 \tag{3}
\end{eqnarray}
両辺は整数なので、
\begin{equation}
d_n = 1,2,4
\end{equation}のいずれかとなります。

$n \equiv 0,2 \mod 4$ の場合、
\begin{eqnarray}
n^2 +1 & \equiv & 1 \mod 4 \\
5n^2 +9 & \equiv & 1 \mod 4
\end{eqnarray}です。
また、 $n \equiv 1,3 \mod 4$ の場合、
\begin{eqnarray}
n^2 +1 & \equiv & 2 \mod 4 \\
5n^2 +9 & \equiv & 2 \mod 4
\end{eqnarray}です。
いずれの場合も、共に4では割り切れません。つまり、
\begin{equation}
d_n \ne 4
\end{equation}です。

$n\equiv 0 \mod 2$ の場合、
\begin{eqnarray}
n^2 +1 & \equiv & 1 \mod 2 \\
5n^2 +9 & \equiv & 1 \mod 2
\end{eqnarray}です。共に2で割り切れません。
したがって、
\begin{equation}
d_n = 1
\end{equation}を得ます。

$n \equiv 1 \mod 2$ の場合、
\begin{eqnarray}
n^2 +1 & \equiv & 0 \mod 2 \\
5n^2 +9 & \equiv & 0 \mod 2
\end{eqnarray}です。共に2で割り切れます。
したがって、
\begin{equation}
d_n = 2
\end{equation}を得ます。

以上より、
\begin{equation}
d_n = \left \{ \begin{array}{ll}
1 & (n : \ \mbox{偶数}) \\
2 & (n : \ \mbox{奇数})
\end{array} \right.
\end{equation}となります。

小問(2)の解答例

$n$ が偶数の場合、
$n^2 +1, \ 5n^2 +9$ は互いに素です。
したがって $(n^2 +1)(5n^2 +9)$ は整数の2乗になり得ません。

$n$ が奇数の場合、
\begin{eqnarray}
n^2 +1 &=& 2k \\
5n^2 +9 &=& 2l
\end{eqnarray}なので
\begin{equation}
(n^2 +1)(5n^2 +9) = 4kl
\end{equation}です。
$k > 1, \ l > 1$ が互いに素なので、 $(n^2 +1)(5n^2 +9)$ は整数の2乗になり得ません。