ある自然数を八進法、九進法、十進法でそれぞれ表したとき、桁数がすべて同じになった。このような自然数で最大のものを求めよ。ただし、必要なら次を用いてよい。

を満たす実数に対し、 \begin{equation} f(x) = \frac{\log (2x -1)}{x} \end{equation}とおく。必要ならばであること、および、自然対数の底がであることを証明なしで用いてよい。

以下の問いに答えよ。

は整数を係数とする。4次方程式の重解を含めた4つの解のうち、2つは整数で残りの2つは虚数であるという。このときの値を求めよ。

4個の整数はを満たしている。これらの中から相異なる2個を取り出して和を作ると、からまでのすべての整数の値が得られるという。の値を求めよ。

を自然数とする。3つの整数の最大公約数を求めよ。

を正の整数とし、の範囲で定義された2曲線 \begin{equation} C_1 \ : \ y = \cos x, \quad C_2 \ : \ y = \frac{1 -x^2}{1 +x^2} \end{equation}を考える。

を正の整数とし、の範囲で定義された2曲線 \begin{equation} C_1 \ : \ y = \cos x, \quad C_2 \ : \ y = \frac{1 -x^2}{1 +x^2} \end{equation}を考える。

を満たす整数の組をすべて求めよ。

を3以上の素数とする。4個の整数が次の条件

を1以上の整数とする。(1) との最大公約数を求めよ。(2) は整数の2乗にならないことを示せ。