複素数値関数が「正規直交関数系」をなすとは、
\begin{eqnarray}
\langle \phi_m (x), \phi_n (x) \rangle &=& \int_a^b \overline{\phi_m (x)} \, \phi_n (x) \, dx &=& 0 \quad (m \ne n) \\
\langle \phi_n (x), \phi_n (x) \rangle &=& \int_a^b \overline{\phi_n (x)} \, \phi_n (x) \, dx &=& 1
\end{eqnarray}を満たすことをいいます。
つまり、
の場合、内積は0
- ノルム(大きさ)は1
ということです。「内積が0」なので「直交」と呼んでいます。
複素数値関数の内積 - 数式で独楽する
複素数値関数のノルム - 数式で独楽する
複素数値関数の正規化または規格化 - 数式で独楽する
例えば、
\begin{equation}
\phi_n (x) = \frac{1}{2L}\exp \frac{in\pi x}{L}
\end{equation}は、区間]で正規直交関数系をなします。
のとき、
\begin{eqnarray}
\langle \phi_m (x), \phi_n (x) \rangle
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L \overline{\exp \frac{im\pi x}{L}} \, \exp \frac{in\pi x}{L} \, dx \\
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L \exp \left( -\frac{im \pi x}{L} \right) \, \exp \frac{in\pi x}{L} \, dx \\
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L \exp \frac{i(n -m)\pi x}{L} \, dx \\
&=& 0
\end{eqnarray}です。
また、
\begin{eqnarray}
\langle \phi_n (x), \phi_n (x) \rangle
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L \overline{\exp \frac{in\pi x}{L}} \, \exp \frac{in\pi x}{L} \, dx \\
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L \exp \left( -\frac{in \pi x}{L} \right) \, \exp \frac{in\pi x}{L} \, dx \\
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L \exp \frac{i(n -n)\pi x}{L} \, dx \\
&=& \frac{1}{2L} \int_{L}^L dx \\
&=& 1
\end{eqnarray}です。
