整式を2次式 で割った余りはで、 で割った余りはで 評価できます。

任意の整数に対し、は9で割り切れることを示せ。

数列を次のように定める。

を自然数とする。3つの整数の最大公約数を求めよ。

2以上の自然数に対し、とがともに素数となるのはの場合に限ることを示せ。

を2次式とする。整式はでは割り切れないが、はで割り切れるという。このとき2次方程式は重解をもつことを示せ。

を1以上の整数とする。(1) との最大公約数を求めよ。(2) は整数の2乗にならないことを示せ。

2つの整数について、 をで割った余りとをで割った余りが等しい ことを \begin{equation} x \equiv y \mod p \end{equation} で表します。これを「合同式」といいます。

2つの整数について、 をで割った余りとをで割った余りが等しい ことを \begin{equation} x \equiv y \mod p \end{equation} で表します。これを「合同式」といいます。

2つの整数について、 をで割った余りとをで割った余りが等しい ことを \begin{equation} x \equiv y \mod p \end{equation} で表します。これを「合同式」といいます。

2つの整数について、 をで割った余りとをで割った余りが等しい ことを \begin{equation} x \equiv y \mod p \end{equation} で表します。これを「合同式」といいます。

2つの整数について、 をで割った余りとをで割った余りが等しい ことを \begin{equation} x \equiv y \mod p \end{equation} で表します。これを「合同式」といいます。

2つの整数について、 をで割った余りとをで割った余りが等しい ことを \begin{equation} x \equiv y \mod p \end{equation} で表します。これを「合同式」といいます。

以下の問いに答えよ。(1) 正の奇数と正の整数がを満たしているとする。を4で割った余りがを4で割った余りと等しいならば、を4で割った余りはを4で割った余りと等しいことを示せ。

以下の問いに答えよ。(1) 正の奇数と正の整数がを満たしているとする。を4で割った余りがを4で割った余りと等しいならば、を4で割った余りはを4で割った余りと等しいことを示せ。

2つの整数について、 をで割った余りとをで割った余りが等しい ことを \begin{equation} x \equiv y \mod p \end{equation} で表します。これを「合同式」といいます。 「法に関しては合同である」などといいます。

素数は、 約数を2つだけ持つ数 です。 素数を割り切ることができるのは、1とその数自身のみということです。 なお、1は素数に含まれません。1の約数は1だけです。本稿では、素数を3つに分けてみました。

が素数ならば、 は素数でないことを示せ。

が共に素数とする。素数を求めよ。

剰余の定理 整式をで割った余りはである。因数定理 整式はを因数に持つ(割り切れる) ⇔ 剰余の定理と因数定理は、整式の因数と余りについての重要な定理です。 整式が1次式の因数を持つかどうかを判定する、強力なツールです。 剰余の定理 整式を1次式で割る…

自然数の関数を、 \begin{eqnarray} f(n) &=& nを7で割った余り \\ g(n) &=& 3 \, f \left( \sum_{k=1}^7 k^n \right) \end{eqnarray}によって定める。(1) すべての自然数に対してを示せ。(2) あなたの好きな自然数を一つ決めてを求めよ。そのの値をこの設問…

素数を用いてと表される素数をすべて求めよ。 解答例 解説 解答例 が共に奇数である場合、 は偶数、つまり2の倍数 になります。 したがって、少なくとも一方は偶数の素数、すなわち2となります。の場合、 \begin{equation} p^q + q^p = 2^2 + 2^2 = 8 \end{e…

$n$を自然数とする。$n$個の箱すべてにの5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている。各々の箱から1枚ずつ取り出し、取り出した順に左から並べて$n$桁の数を$X$を作る。このとき、$X$が3で割り切れる確率を求めよ。 途中から別解 京大 2017年 理系 第6…

$n$を自然数とする。$n$個の箱すべてにの5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている。各々の箱から1枚ずつ取り出し、取り出した順に左から並べて$n$桁の数を$X$を作る。このとき、$X$が3で割り切れる確率を求めよ。 解答例 $n$桁の数$X$を$X_n$とします…

が素数となるような整数をすべて求めよ。

ユークリッドの互除法は、2つの自然数の最大公約数を求める手法です。 自然数について、をで割った余りをとするとき、すなわち

を自然数とする。整式を整式で割った余りをとする。このときとは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。 整式を、整式を用いて \begin{equation} x^n = (x^2 -2x -1)Q_n(x) + a_n x + b_n \tag{1} \end{equation}と表すこと…

フェルマーの小定理は、素数の性質に関する定理で、冪乗(巾乗、べき乗)の剰余の定理です。 かの有名なフェルマーの最終定理*1 フェルマーの小定理 素数、任意の整数に対して \begin{equation} a^p \equiv a \mod p \end{equation}が成り立つ。 特に、が互い…

を自然数とする。をで割った余りをとする。は互いに素な整数であることを示せ。 整式$x^n$は、整式$Q(x)$を用いて \begin{equation} x^n = (x -k)(x -k -1)Q(x) + ax + b \tag{1} \end{equation}と表すことができます。 これより、 \begin{eqnarray} k^n &=&…

正の整数に対し \begin{equation} a = 3^b \, c \quad (b, c\mbox{は整数で、$c$は3で割り切れない}) \end{equation}の形に書いたとき、と定める。例えばである。 は整数で、次の条件を満たすとする。