関数が、周期が
の周期関数で、
\begin{equation}
f(x)= \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} +b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \tag{1}
\end{equation}とフーリエ展開できるとき、
フーリエ級数 - 数式で独楽する
フーリエ係数 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\frac{1}{L} \int_{-L}^L \{ f(x) \}^2 \, dx = \frac{{a_0}^2}{2} +\sum_{n =1}^\infty \left( {a_n}^2 +{b_n}^2 \right)
\end{equation}となります。「パーセバルの恒等式」といいます。
みていきましょう。
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{2} \\
b_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{3}
\end{eqnarray}を用いていきます。
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \{ f(x) \}^2 \, dx &=& \int_{-L}^L f(x) \left \{ \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} +b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \right \} \, dx \\
&=& L \left \{ \frac{{a_0}^2}{2} +\sum_{n =1}^\infty \left( {a_n}^2 +{b_n}^2 \right) \right \}
\end{eqnarray}となります。
2つあるの片方をフーリエ展開し、さらにフーリエ係数の関係式を用いています。
これより、
\begin{equation}
\frac{1}{L} \int_{-L}^L \{ f(x) \}^2 \, dx = \frac{{a_0}^2}{2} +\sum_{n =1}^\infty \left( {a_n}^2 +{b_n}^2 \right)
\end{equation}を得ます。
