\begin{equation}
{{}_n C_0}^2 +{{}_n C_1}^2 +{{}_n C_2 }^2 +\cdots +{{}_n C_n}^2 = \frac{(2n)!}{(n!)^2}
\end{equation}
二項係数の平方和は、階乗で表現できます。
\begin{equation}
(1 +x)^{2n} = \left \{ (1 +x)^n \right \}^2
\end{equation}ですが、両辺をそれぞれ二項定理で展開すると次のようになります。
二項定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
&& {}_{2n} C_0 +{}_{2n} C_1 \, x +\cdots +{}_{2n} C_n \, x^n +\cdots +{}_{2n} C_{2n} \, x^{2n} \\
&& = ({}_n C_0 +{}_n C_1 \, x +{}_n C_2 \, x^2 +\cdots +{}_n C_{n -1} \, x^{n -1} +{}_n C_n \, x^n)^2
\end{eqnarray}
の係数を比較します。
\begin{equation}
{}_{2n} C_n = {}_n C_0 \, {}_n C_n +{}_n C_1 \, {}_n C_{n -1} +{}_n C_2 \, {}_n C_{n -2} +\cdots +{}_n C_{n -1} \, {}_n C_1 +{}_n C_n \, {}_n C_0
\end{equation}
組合せの定義と二項係数の対称性より、
順列・組合せ - 数式で独楽する
二項係数の対称性 - 数式で独楽する
\begin{equation}
{{}_n C_0}^2 +{{}_n C_1}^2 +{{}_n C_2 }^2 +\cdots +{{}_n C_n}^2 = \frac{(2n)!}{(n!)^2}
\end{equation}を得ます。
