二項係数の対称性 - 数式で独楽する

\begin{equation}
{}_n C_k = {}_n C_{n -k}
\end{equation}

二項係数は中央で対称、というものです。

二項係数、つまり $n$ 個のものより $k$ 個のものを取り出す組合せは
\begin{equation}
{}_n C_k = \frac{n!}{k! (n -k)!} \tag{1}
\end{equation}です。
順列・組合せ - 数式で独楽する

式(1)で $k$ と $n -k$ を入れ替えても同じです。
\begin{equation}
{}_n C_{n -k} = \frac{n!}{(n -k)! k!}
\end{equation}

よって、
\begin{equation}
_n C_k = {}_n C_{n -k}
\end{equation}を得ます。