正八面体の体積 - 数式で独楽する

一辺の長さが $a$ である正八面体の体積
\begin{equation}
V = \frac{\sqrt{2}}{3} \, a^3
\end{equation}

正八面体を分割すると、四角錐が2つできます。
四角錐の

です。

したがって、正八面体の体積は
\begin{eqnarray}
V &=& 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\
&=& \frac{\sqrt{2}}{3} \, a^3
\end{eqnarray}となります。