辺の長さがAB=3, AC=4, BC=5, AD=6. BD=7, CD=8である四面体ABCDの体積を求めよ。
解答例
\begin{equation}
\mathrm{AB^2 +AC^2 = BC^2}
\end{equation}なので、△ABCは直角三角形です。
三平方の定理の逆 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\vec{b} &=& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \\
\vec{c} &=& \overrightarrow{\mathrm{AC}} \\
\vec{d} &=& \overrightarrow{\mathrm{AD}}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
\left| \vec{b} \right| &=& 3 \\
\left| \vec{c} \right| &=& 4 \\
\left| \vec{d} \right| &=& 6 \\
\vec{b} \cdot \vec{c} &=& 0
\end{eqnarray}です。
また、
\begin{eqnarray}
\left| \overrightarrow{\mathrm{BD}} \right|^2 &=& \left| \vec{d} -\vec{b} \right|^2 \\
&=& \left| \vec{d} \right|^2 -2\, \vec{b} \cdot \vec{d} +\left| \vec{b} \right|^2 = 49 \\
\left| \overrightarrow{\mathrm{CD}} \right|^2 &=& \left| \vec{d} -\vec{c} \right|^2 \\
&=& \left| \vec{d} \right|^2 -2\, \vec{c} \cdot \vec{d} +\left| \vec{c} \right|^2 = 64
\end{eqnarray}より
\begin{eqnarray}
\vec{b} \cdot \vec{d} &=& -2 \\
\vec{c} \cdot \vec{d} &=& -6
\end{eqnarray}となります。
ここで、A(0, 0, 0), B(3, 0, 0), C(0, 4, 0), D() (ただし
)とします。
\begin{eqnarray}
\vec{b} \cdot \vec{d} &=& 3x &=& -2 \\
\vec{c} \cdot \vec{d} &=& 4y &=& -6
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
x &=& -\frac{2}{3} \\
y &=& -\frac{3}{2}
\end{eqnarray}となります。
また、
\begin{equation}
\mathrm{AD}^2 = x^2 +y^2 +z^2 = 36
\end{equation}より、
\begin{eqnarray}
\frac{4}{9} +\frac{9}{4} +z^2 &=& 36 \\
z^2 &=& 36 -\frac{97}{36} =\frac{1199}{36} \\
\therefore \quad z &=& \frac{\sqrt{1199}}{6}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、求める体積は
\begin{eqnarray}
V &=& \frac{1}{3} \times \frac{3 \times 4}{2} \times \frac{\sqrt{1199}}{6} \\
&=& \frac{\sqrt{1199}}{3}
\end{eqnarray}です。
解説
6辺の長さを指定すると、四面体が定まります。
長さは3, 4, 5, 6, 7, 8となっています。ある意味、美しい形です。
△ABCが直角三角形になっているので、座標空間に置く発想になっています。
これで答えが簡単な形になっていればよかったのですが、そこまで求めるのは贅沢でしょう。
