2023年阪大理系第1問(2) - 数式で独楽する

$n$ を2以上の自然数とする。
(1) $0 \leqq x \leqq 1$ のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
\begin{equation}
\frac{1}{2} \, x^n \leqq (-1)^n \left \{ \frac{1}{x +1} -1 -\sum_{k = 2}^n (-x)^{k -1} \right \} \leqq x^n -\frac{1}{2} \, x^{n +1}
\end{equation}
(2) $\displaystyle a_n = \sum_{k = 1}^n \frac{(-1)^{k -1}}{k}$ とするとき、次の極限値を求めよ。
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} (-1)^n \, n(a_n -\log 2)
\end{equation}

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

2023年阪大理系第1問その1 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

小問(1)の結果を積分します。
\begin{equation}
\int_0^1 \frac{1}{2} \, x^n \, dx \leqq \int_0^1 (-1)^n \left \{ \frac{1}{x +1} -1 -\sum_{k = 2}^n (-x)^{k -1} \right \} dx \leqq \int_0^1 \left( x^n -\frac{1}{2} \, x^{n +1} \right) dx \tag{8}
\end{equation}となります。

それぞれの積分は、次のようになります。
左辺
\begin{eqnarray}
\int_0^1 \frac{1}{2} \, x^n \, dx &=& \left[ \frac{1}{2(n +1)} \, x^{n +1} \right]_0^1 \\
&=& \frac{1}{2(n +1)} \tag{9}
\end{eqnarray}右辺
\begin{eqnarray}
&& \int_0^1 \left( x^n -\frac{1}{2} \, x^{n +1} \right) dx \\
&&= \left[ \frac{1}{n +1} \, x^{n +1} -\frac{1}{2(n +2)} \, x^{n +2} \right]_0^1 \\
&&= \frac{1}{n +1} -\frac{1}{2(n +2)} \tag{10}
\end{eqnarray}中辺
\begin{eqnarray}
&& \int_0^1 (-1)^n \left \{ \frac{1}{x +1} -1 -\sum_{k = 2}^n (-x)^{k -1} \right \} dx \\
&&= (-1)^n \left[ \log (x +1) -x +\sum_{k =2}^n \frac{(-x)^k}{k} \right]_0^1 \\
&&= (-1)^n \left[ \log (x +1) +\sum_{k = 1}^n \frac{(-x)^k}{k} \right]_0^1 \\
&&= (-1)^n \left \{ \log 2 +\sum_{k = 1}^n \frac{(-1)^k}{k} \right \} \\
&&= (-1)^n \left \{ \log 2 -\sum_{k = 1}^n \frac{(-1)^{k -1}}{k} \right \} \\
&&= (-1)^n \, (\log 2 -a_n) \tag{11}
\end{eqnarray}

式(8)～(11)をまとめ、
\begin{equation}
\frac{1}{2(n +1)} \leqq (-1)^n (\log 2 -a_n) \leqq \frac{1}{n +1} -\frac{1}{2(n +2)}
\end{equation}を得ます。さらに変形すると
\begin{equation}
\frac{n}{2(n +1)} \leqq (-1)^n \, n(\log 2 -a_n) \leqq \frac{n}{n +1} -\frac{n}{2(n +2)}
\end{equation}となります。

$n \to \infty$ としたときの極限は、
\begin{eqnarray}
\frac{n}{2(n +1)} &=& \frac{1}{2(1 +1/n)} \\
& \to & \frac{1}{2} \\
\\
\frac{n}{n +1} -\frac{n}{2(n +2)} &=& \frac{1}{1 +1/n} -\frac{1}{2(1 +2/n)} \\
& \to & 1 -\frac{1}{2} \\
&=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray}なので、はさみうちの原理により
数列の極限その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} (-1)^n \, n(\log 2 -a_n) = \frac{1}{2}
\end{equation}となります。
よって、求める極限は、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} (-1)^n \, n(a_n -\log 2) = -\frac{1}{2}
\end{equation}です。