2023年 阪大 理系 第5問

1個のさいころを回投げて、回目に出た目をとする。を
\begin{equation}
b_n = \sum_{k = 1}^n {a_1}^{n -k} a_k
\end{equation}により定義し、が7の倍数となる確率をとする。
(1) を求めよ。
(2) 数列の一般項を求めよ。

小問(1)の解答例

定義より、
\begin{equation}
b_1 = a_1
\end{equation}です。
\begin{equation}
a_1 = 1,2,3,4,5,6
\end{equation}のいずれかなので、
\begin{equation}
p_1 = 0
\end{equation}です。

定義より、
\begin{equation}
b_2 = {a_1}^2 +a_2
\end{equation}です。
が7の倍数となるの組み合わせは、次の6通りです。
\begin{array}{ccc}
\hline
a_1 & a_2 & b_2 \\ \hline
1 & 6 & 7 \\
2 & 3 & 7 \\
3 & 5 & 14 \\
4 & 5 & 21 \\
5 & 3 & 28 \\
6 & 6 & 42 \\ \hline
\end{array}
よって、
\begin{equation}
p_2 = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
\end{equation}です。

小問(2)の解答例

定義より、
\begin{eqnarray}
b_{n +1} &=& \sum_{k = 1}^{n +1} {a_1}^{n +1 -k} a_k \\
&=& \sum_{k = 1}^n {a_1}^{n +1 -k} a_k +a_{n +1} \\
&=& a_1 \sum_{k = 1}^n {a_1}^{n -k} a_k +a_{n +1} \\
&=& a_1 b_n +a_{n +1} \tag{1}
\end{eqnarray}です。

が7の倍数の場合、が7の倍数になり得ません。
が7の倍数ではない場合、のいずれか1つが出ればが7の倍数になります。
つまり、確率は1/6です。
したがって、
\begin{equation}
p_{n +1} = \frac{1}{6} (1 -p_n)
\end{equation}が成り立ちます。

これより、
\begin{eqnarray}
p_{n +1} -\frac{1}{7} &=& -\frac{1}{6} \left( p_n -\frac{1}{7} \right) \\
p_n -\frac{1}{7} &=& -\frac{1}{6} \left( p_{n -1} -\frac{1}{7} \right) \\
& \vdots & \\
&=& \left( -\frac{1}{6} \right)^{n -1} \left( p_1 -\frac{1}{7} \right) \\
&=& -\frac{1}{7} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n -1}
\end{eqnarray}となります。

よって、数列の一般式は
\begin{equation}
p_n = \frac{1}{7} \left \{ 1 -\left( \frac{1}{6} \right)^{n -1} \right \}
\end{equation}です。

解説

小問(1)はを定義通り書き下し、あり得る場合を列挙すれば楽勝です。
小問(2)では、とが式(1)の形に表すことができるのがポイントです。は1から6のいずれかなので、が7の倍数になるかどうかの判断も容易です。