数列の極限 その2 はさみうちの原理

数列がとしたときにに収束することを
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} a_n = a
\end{equation}で表します。

整数を限りなく大きくすると、は限りなく に近付く

ということですが、厳密さが要求される場合、こういう表現をします。

任意のに対し、あるが存在し、全てのに対して
\begin{equation}
|a_n - a| < \epsilon
\end{equation}が成り立つ

記号では次のように書きます。
\begin{equation}
\forall \epsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N} \, \mathrm{s.t.} \, \forall n \in \mathbb{N} \, [ n > N \Rightarrow |a_n - a| < \epsilon ]
\end{equation}
式中、
は「全ての」「任意の」、
は「存在する」
を意味します。それぞれallとexistsを記号化しています。
また、s.t.はsuch thatの略です。

「は任意の正の数」というのがミソです。
をいくら小さくしても対応するが存在するということで、
極限を定量的に表現しています。

具体例2

数列について
\begin{equation}
a_n < c_n < b_n \tag{1}
\end{equation}なる関係が全ての自然数に対して成り立ち、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}a_n = a, \quad \lim_{n \to \infty} b_n = a \tag{2}
\end{equation}となる場合、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}c_n = a
\end{equation}であることを確かめます。

式(2)より、
\begin{equation}
\forall \epsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N} \, \mathrm{s.t.} \, \forall n \in \mathbb{N} \, [ n > N \Rightarrow |a_n - a| < \epsilon, \, |b_n - a| < \epsilon]
\end{equation}です。で
\begin{eqnarray}
- \epsilon &<& a_n - a &<& \epsilon \\
- \epsilon &<& b_n - a &<& \epsilon
\end{eqnarray}の両方を満たすが存在します。

また、式(1)より、
\begin{equation}
a - \epsilon < a_n < c_n < b_n < a + \epsilon
\end{equation}が成り立ちます。

つまり、で
\begin{equation}
|c_n - a| < \epsilon
\end{equation}が成り立ちます。
\begin{equation}
\forall \epsilon, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \mathrm{s.t.} \, \forall n \in \mathbb{N}\, \left[ n > N \Rightarrow | c_n - a | < \epsilon \right]
\end{equation}ということです。

したがって、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}a_n = a, \quad \lim_{n \to \infty}b_n = a
\end{equation}かつ
\begin{equation}
a_n < c_n < b_n
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}c_n = a
\end{equation}となります。
これを「はさみうちの原理」といいます。