2023年 阪大 理系 第1問(1)

を2以上の自然数とする。

(1) のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

\begin{equation}
\frac{1}{2} \, x^n \leqq (-1)^n \left \{ \frac{1}{x +1} -1 -\sum_{k = 2}^n (-x)^{k -1} \right \} \leqq x^n -\frac{1}{2} \, x^{n +1}
\end{equation}

(2) とするとき、次の極限値を求めよ。

\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} (-1)^n \, n(a_n -\log 2)
\end{equation}

小問(1)の解答例

(i) の場合
\begin{equation}
\frac{1}{x +1} -1 = (-x) +(-x)^2 +\cdots
\end{equation}なので、*1
\begin{eqnarray}
\frac{1}{x +1} -1 -\sum_{k = 2}^n (-x)^{k -1} &=& (-x)^n +(-x)^{n +1} +\cdots \\
&=& \frac{(-x)^n}{x +1}
\end{eqnarray}となります。ここで倍すると、
\begin{equation}
(-1)^n \left \{ \frac{1}{x +1} -1 -\sum_{k = 2}^n (-x)^{k -1} \right \} = \frac{x^n}{x +1} > \frac{1}{2} \, x^n \tag{1}
\end{equation}を得ます。
また、
\begin{eqnarray}
\frac{x^n}{x +1} -x^n &=& \frac{x^n -x^{n +1} -x^n}{x +1} \\
&=& -\frac{x^{n +1}}{x +1} \\
&<& -\frac{1}{2} \, x^{n +1} \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

式(1), (2)をまとめると、
\begin{equation}
\frac{1}{2} \, x^n < (-1)^n \left \{ \frac{1}{x +1} -1 -\sum_{k = 2}^n (-x)^{k -1} \right \} < x^n -\frac{1}{2} \, x^{n +1} \tag{3}
\end{equation}となります。

(ii) の場合
が偶数であれば、
\begin{equation}
\sum_{k = 2}^n (-1)^{k -1} = -1
\end{equation}なので
\begin{equation}
(-1)^n \left \{ \frac{1}{1 +1} -1 -\sum_{k = 2}^n (-1)^{k -1} \right \} = \frac{1}{2} -1 +1 = \frac{1}{2} \tag{4}
\end{equation}となります。

が奇数であれば、
\begin{equation}
\sum_{k = 2}^n (-1)^{k -1} = 0
\end{equation}なので
\begin{equation}
(-1)^n \left \{ \frac{1}{1 +1} -1 -\sum_{k = 2}^n (-1)^{k -1} \right \} = -\left( \frac{1}{2} -1 +0 \right) = \frac{1}{2} \tag{5}
\end{equation}となります。

また、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \times 1^n &=& \frac{1}{2} \tag{6} \\
1^n -\frac{1}{2} \times 1^{n +1} &=& 1 -\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \tag{7}
\end{eqnarray}です。

式(4)～(7)と式(3)をまとめると、のとき
\begin{equation}
\frac{1}{2} \, x^n \leqq (-1)^n \left \{ \frac{1}{x +1} -1 -\sum_{k = 2}^n (-x)^{k -1} \right \} \leqq x^n -\frac{1}{2} \, x^{n +1}
\end{equation}が成り立ちます。(証明終わり)

小問(2)の解答例

2023年 阪大 理系 第1問(2) - 数式で独楽する

解説

等比数列の和で処理することになります。
ただ、の場合はこの方法が使えないので、別枠で考える必要があります。

*1:初項1、公比の等比級数です。で収束します。