京大2015年理系第6問 - 数式で独楽する

2つの関数を、 $f_0 (x) = \displaystyle \frac {x}{2}, \ f_1 (x) = \frac{x +1}{2}$ とおく。 $\displaystyle x_0 = \frac{1}{2}$ から始め、各 $n=1,2, \cdots$ についてそれぞれ確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ で $x_n = f_0 (x_{n -1})$ または $x_n = f_1 (x_{n -1})$ と定める。このとき $x_n < \displaystyle \frac{2}{3}$ となる確率 $P_n$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

$x_n$ が全て $f_0 (x_{x -1})$ となる場合、
\begin{eqnarray}
x_n &=& \frac{x_{n -1}}{2} \\
\therefore \quad x_n &=& \left( \frac{1}{2} \right)^{n +1} >0
\end{eqnarray}です。
同様に、 $x_n$ が全て $f_1 (x_{x -1})$ となる場合、
\begin{eqnarray}
x_n &=& \frac{x_{n -1} +1}{2} \\
x_n -1 &=& \frac{1}{2}(x_{n -1} -1) \\
x_n -1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^n \left( -\frac{1}{2} \right) \\
\therefore \quad x_n &=& 1 -\left( \frac{1}{2} \right)^{n +1} < 1
\end{eqnarray}です。
つまり、
\begin{equation}
0 < x_n < 1
\end{equation}となることが分かります。

また、 $0 < x_n < \displaystyle \frac{1}{3}$ の場合、
\begin{equation}
0 < f_0 (x_n) < \frac{1}{6}, \quad \frac{1}{2} < f_1 (x_n) < \frac{2}{3}
\end{equation}
$\displaystyle \frac{1}{3} \leqq x_n < \frac{2}{3}$ の場合、
\begin{equation}
\frac{1}{6} \leqq f_0 (x_n) < \frac{1}{3}, \quad \frac{2}{3} \leqq f_1 (x_n) < \frac{5}{6}
\end{equation}
$\displaystyle \frac{2}{3} \leqq x_n < 1$ の場合、
\begin{equation}
\frac{1}{3} \leqq f_0 (x_n) < \frac{1}{2}, \quad \frac{5}{6} \leqq f_1 (x_n) < 1
\end{equation}となります。

ここで、

$\displaystyle 0 < x_n < \frac{1}{3}$ となる確率を $p_n$
$\displaystyle \frac{1}{3} \leqq x_n < \frac{2}{3}$ となる確率を $q_n$
$\displaystyle \frac{2}{3} \leqq x_n < 1$ となる確率を $r_n$

とします。
このとき
\begin{eqnarray}
p_0 &=& 0 \tag{1} \\
q_0 &=& 1 \tag{2} \\
r_0 &=& 0 \tag{3} \\
\\
p_n &=& \frac{1}{2} \, p_{n -1} +\frac{1}{2} \, q_{n -1} \tag{4} \\
q_n &=& \frac{1}{2} \, p_{n -1} +\frac{1}{2} \, r_{n -1} \tag{5} \\
r_n &=& \frac{1}{2} \, q_{n -1} +\frac{1}{2} \, r_{n -1} \tag{6} \\
\\
p_n +q_n +r_n &=& 1 \tag{7}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

式(2), (5), (7)より、
\begin{eqnarray}
q_n &=& \frac{1}{2} (1 -q_{n -1}) \\
q_n -\frac{1}{3} &=& -\frac{1}{2} \left( q_{n -1} -\frac{1}{3} \right) \\
q_n -\frac{1}{3} &=& \left( -\frac{1}{2} \right)^n \left( q_0 -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n \\
\therefore \quad q_n &=& \frac{1}{3} +\frac{2}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n \tag{8}
\end{eqnarray}を得ます。

また、式(1), (3), (4), (6)より、
\begin{eqnarray}
p_n -r_n &=& \frac{1}{2} (p_{n -1} -r_{n -1}) \\
& \vdots & \\
&=& \left( -\frac{1}{2} \right)^n (p_0 -r_0) =0 \\
\therefore \quad p_n &=& r_n \tag{9}
\end{eqnarray}となります。

したがって、式(7)~(9)より
\begin{eqnarray}
p_n &=& \frac{1}{2} (1 -q_n) \\
&=& \frac{1}{3} -\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n \tag{10}
\end{eqnarray}を得ます。

式(9), (10)より、求める確率は、
\begin{eqnarray}
P_n &=& p_n +q_n \\
&=& \frac{2}{3} +\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n
\end{eqnarray}となります。

解説

図形的には0と1との中点からスタートし、次の瞬間には0との中点か1との中点に移動するというものです。
関数の性質から、
\begin{equation}
f_1 (x_n) < \frac{2}{3}
\end{equation}となる $x_n$ が存在することが分かります。
このとき
\begin{equation}
x_n < \frac{1}{3}
\end{equation}なので、1/3と2/3で3分割する発想が出て来ます。