2022年東大理科第1問 - 数式で独楽する

次の関数 $f(x)$ を考える。
\begin{equation}
f(x) = (\cos x) \log (\cos x) -\cos x +\int_0^x (\cos t) \log (\cos t) \, dt \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right)
\end{equation}
(1) $f(x)$ は区間 $\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ において最小値を持つことを示せ。
(2) $f(x)$ の区間 $\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ における最小値を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

導関数は
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& -(\sin x) \log (\cos x) -\sin x +\sin x +(\cos x) \log (\cos x) \\
&=& (\cos x -\sin x) \log (\cos x)
\end{eqnarray}です。
積の微分 - 数式で独楽する

$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ のとき、
\begin{equation}
\log (\cos x) \leqq 0
\end{equation}です。
また $f'(x) = 0$ とすると、
\begin{equation}
\cos x = \sin x
\end{equation}より、
\begin{equation}
x = \frac{\pi}{4}
\end{equation}です。

したがって、 $f'(x)$ の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & 0 & \cdots & \pi/4 & \cdots & \pi/2 \\ \hline
f'(x) && - & 0 & + & \\ \hline
f(x) & -1 & \searrow && \nearrow & \\ \hline
\end{array}
よって、 $f(x)$ は $x = \displaystyle \frac{\pi}{4}$ で最小値を持ちます。(証明終わり)

小問(2)の解答例

求める最小値は
\begin{equation}
f \left( \frac{\pi}{4} \right) = \left( \cos \frac{\pi}{4} \right) \log \left( \cos \frac{\pi}{4} \right) -\cos \frac{\pi}{4} +\int_0^{\pi/4} (\cos t) \log (\cos t) \, dt \tag{1}
\end{equation}です。

式(1)の各項を求めていきます。
第1項は
\begin{eqnarray}
\left( \cos \frac{\pi}{4} \right) \log \left( \cos \frac{\pi}{4} \right) &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \, \log \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\
&=& -\frac{\log 2}{2 \sqrt{2}} \tag{2}
\end{eqnarray}です。
第2項は
\begin{equation}
\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tag{3}
\end{equation}です。
第3項は
\begin{eqnarray}
\int_0^{\pi/4} (\cos t) \log (\cos t) \, dt &=& \biggl[ (\sin t) \log (\cos t) \biggr]_0^{\pi/4} -\int_0^{\pi/4} \sin t \cdot \frac{1}{\cos t} (-\sin t) \, dt \\
&=& -\frac{\log 2}{2\sqrt{2}} +\int_0^{\pi/4} \tan t \, \sin t \, dt \tag{4}
\end{eqnarray}です。

式(4)の第2項は
\begin{eqnarray}
\int_0^{\pi/4} \tan t \, \sin t \, dt &=& \left[ -\frac{\sin t}{\cos t} \, \cos t \right]_0^{\pi/4} +\int_0^{\pi/4} \frac{\cos^2 t +\sin^2 t}{\cos^2 t} \, \cos t \, dt \\
&=& -\frac{1}{\sqrt{2}} +\int_0^{\pi/4} \frac{dt}{\cos t} \tag{5}
\end{eqnarray}
さらに、
\begin{eqnarray}
\int_0^{\pi/4} \frac{dt}{\cos t} &=& \int_0^{\pi/4} \frac{\cos t}{\cos^2 t} \, dt \\
&=& \int_0^{\pi/4} \frac{\cos t}{1 -\sin^2 t} \, dt \\
&=& \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \left( \frac{1}{1 -\sin t} +\frac{1}{1 +\sin t} \right) \, \cos t \, dt \\
&=& \frac{1}{2} \biggl[ -\log |1 -\sin t| +\log |1 +\sin t| \biggr]_0^{\pi/4} \\
&=& \frac{1}{2} \left[ \log \left| \frac{1 +\sin t}{1 -\sin t} \right| \right]_0^{\pi/4} \\
&=& \frac{1}{2} \log \cfrac{1 +\cfrac{1}{\sqrt{2}}}{1 -\cfrac{1}{\sqrt{2}}} \\
&=& \frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2} -1} \\
&=& \log (\sqrt{2} +1) \tag{6}
\end{eqnarray}です。

以上、式(1)~(6)より、求める最小値は
\begin{equation}
f \left( \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\log 2}{\sqrt{2}} +\log (\sqrt{2} +1)
\end{equation}となります。