自然数の2乗の逆数で和をとると、次のようになります。
\begin{equation}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\cdots = \frac{\pi^2}{6}
\end{equation}
自然数の2乗の逆数の和を求める問題を「バーゼル問題」といいます。
この関係は、放物線のフーリエ級数より導くことができます。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& x^2 \quad (-\pi \leqq x \leqq \pi) \\
f(x +2\pi) &=& f(x)
\end{eqnarray}のとき、
\begin{equation}
f(x) = \frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \, \frac{4}{n^2} \, \cos nx
\end{equation}
のみに着目すると、
\begin{equation}
x^2 = \frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \, \frac{4}{n^2} \, \cos nx
\end{equation}となります。
ここで、を代入します。
\begin{equation}
\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \, \frac{4}{n^2} \, \cos \pi x
\end{equation}
和の記号の中は
\begin{eqnarray}
(-1)^{2k} \cos 2k \pi &=& 1 \times 1 =1 \\
(-1)^{2k +1} \cos (2k +1) \pi &=& -1 \times (-1) =1
\end{eqnarray}となり、負号はなくなります。
つまり、
\begin{equation}
\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}
\end{equation}となります。
これを整理して、
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2} &=& \frac{2}{3} \, \pi^2 \\
\therefore \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &=& \frac{\pi^2}{6}
\end{eqnarray}を得ます。
こういうやり方もあります。
バーゼル問題のオイラーの解法 - 数式で独楽する
