2023年 阪大 理系 第2問

平面上の3点O, A, Bが

\begin{equation}
\left| 2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OB}} \right| = \left| \overrightarrow{\mathrm{OA}} +2\overrightarrow{\mathrm{OB}} \right| = 1
\end{equation}かつ
\begin{equation}
\left( 2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OB}} \right) \cdot \left( \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OB}} \right) = \frac{1}{3}
\end{equation}を満たすとする。

(1) を求めよ。

(2) 平面上の点Pが
\begin{equation}
\left| \overrightarrow{\mathrm{OP}} -\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OB}} \right) \right| \leqq \frac{1}{3}
\end{equation}かつ
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \left( 2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OB}} \right) \leqq \frac{1}{3}
\end{equation}を満たすように動くとき、の最大値と最小値を求めよ。

小問(1)の解答例

\begin{eqnarray}
\vec{u} &=& 2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\
\vec{v} &=& \overrightarrow{\mathrm{OA}} +2\, \overrightarrow{\mathrm{OB}}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \frac{1}{3} \left( \vec{u} +\vec{v} \right)
\end{equation}です。
与えられた条件は、
\begin{eqnarray}
\left| \vec{u} \right| = \left| \vec{v} \right| &=& 1 \\
\vec{u} \cdot \frac{\vec{u} +\vec{v}}{3} &=& \frac{1}{3} \left| \vec{u} \right|^2 +\frac{1}{3} \, \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{3}
\end{eqnarray}となります。

これらより、
\begin{equation}
\vec{u} \cdot \vec{v} = 0
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\left( 2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OB}} \right) \cdot \left( \overrightarrow{\mathrm{OA}} +2\, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \right) = 0
\end{equation}を得ます。

小問(2)の解答例

\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{x \, \vec{u} +y \, \vec{v}}{3}
\end{equation}とします。

点Pに関する1番目の条件を書き換えます。
\begin{eqnarray}
\left| \overrightarrow{\mathrm{OP}} -\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OB}} \right) \right|^2 &=& \frac{1}{9} \left| (x -1) \, \vec{u} +(y -1) \, \vec{v} \right|^2 \\
&=& \frac{1}{9} \left \{ (x -1)^2 +(y -1)^2 \right \} \leqq \frac{1}{3}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
(x -1)^2 +(y -1)^2 \leqq 1 \tag{1}
\end{equation}となります。

2番目の条件も書き換えていきます。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \left( 2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OB}} \right)
&=& \frac{1}{3} \left \{ \left( x \, \vec{u} +y \, \vec{v} \right) \cdot \vec{u} \right \} \\
&=& \frac{1}{3} \, x
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
x \leqq 1 \tag{2}
\end{equation}となります。

したがって、設問の条件を満たす式(1)かつ式(2)で表される領域を図示すると、次の図の着色部となります。境界は含みます。

一方、
\begin{eqnarray}
\left| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \right| &=& \frac{1}{9} \left| x \, \vec{u} +y \, \vec{v} \right|^2 \\
&=& \frac{1}{9} (x^2 +y^2)
\end{eqnarray}です。
\begin{equation}
x^2 +y^2 = r^2 \quad (r \geqq 0) \tag{3}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
\left| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \right| = \frac{1}{3} \sqrt{x^2 +y^2}
= \frac{1}{3} \, r
\end{equation}です。

ここで、式(3)で表される円と領域が共有点を持つ範囲を考えます。
が最小となるのは、円と円が外から接する場合で、このとき
\begin{equation}
r = \sqrt{2} -1
\end{equation}です。
また、が最大となるのは、円が点(1, 2)を通過する場合で、このとき
\begin{equation}
r = \sqrt{5}
\end{equation}です。

よって、の

• 最大値は
• 最小値は

です。

解説

素直に
\begin{eqnarray}
\vec{a} &=& \overrightarrow{\mathrm{OA}} \\
\vec{b} &=& \overrightarrow{\mathrm{OB}}
\end{eqnarray}としても解けるはずです。
小問(1)の結果も同じです。
小問(2)を解き進めていくと、内積の項が残るので煩雑になります。

筆者はここで方針転換しました。小問(1)の結果を踏まえて、本文のようにを定めています。こうすると、内積の項が消えるのですっきり分かり易くなります。