直角三角形に内接する2つの円

直角三角形に同じ大きさの円を2つ内接させたとき、円の直径を3辺の長さで表せ

というものです。
『天地明察』では、3辺の長さは9寸、12寸、15寸となっています。
図にすると、こんな感じです。

f:id:toy1972:20190125191456p:plain — 図-1

図を見ても理解できないので、書き換えてみます。

f:id:toy1972:20190125192830p:plain — 図-2

角Cを直角とする直角三角形ABCに、同じ大きさの円が2つ内接しています。
3辺の長さを
\begin{eqnarray}
a &=& \mathrm{BC} \\
b &=& \mathrm{CA}\\
c &=& \mathrm{AB}
\end{eqnarray}
とします。

それぞれの角に向かい合っている辺の長さを、小文字で表しています。
\begin{eqnarray}
\mathrm{A} & \to & a \\
\mathrm{B} & \to & b \\
\mathrm{C} & \to & c
\end{eqnarray}
という対応です。

この対応のさせ方は、三角形を扱うときによく出てきます。
アルファベットの出てくる順序も、

A → B → C → A

と順繰りになっているところにも注目です。
こういう対応をさせることで、いろいろと覚え易くなります。

閑話休題。

図-2の状態でも手掛かりは掴めません。
補助線を引いてみます。

f:id:toy1972:20190125212209p:plain — 図-3

2つの円の接点で接線を引きました。
接線とAB、BC、CAとの交点をそれぞれD、E、Fとします。
このとき、接線と辺ABは直交しています。
\begin{equation}
\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}
\end{equation}です。

△AFDと△ABCに注目します。
\begin{equation}
\angle \mathrm{D} = \angle \mathrm{C} = \angle R
\end{equation}
なお、 $\angle R$ は「直角」を意味します。
かつ
\begin{equation}
\angle \mathrm{A}は共有
\end{equation}です。

2角が相等しい

ので、2つの三角形は相似、記号で書くと
\begin{equation}
\triangle \mathrm{AFD} \sim \triangle \mathrm{ABC}
\end{equation}となります。
同様に、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{E BD} \sim \triangle \mathrm{ABC}
\end{equation}となります。

したがって、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{AFD} \sim \triangle \mathrm{E BD}
\end{equation}となります。

ここで、△AFDと△EBDには、同じ大きさの円が内接しています。
よって、2つの三角形は合同、記号で書くと、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{AFD} \equiv \triangle \mathrm{E BD}
\end{equation}となります。

あと少しです。
△ABCに対する△AFDと△EBDの相似比を $x$ とすると、
\begin{eqnarray}
\mathrm{BD} &=& xa \\
\mathrm{AD} &=& xb
\end{eqnarray}
となります。
一方で、
\begin{equation}
\mathrm{BD} + \mathrm{AD} = \mathrm{AB} = c
\end{equation}であるので、
\begin{equation}
xa+xb=c
\end{equation}となります。
\begin{equation}
x=\frac{c}{a+b}
\end{equation}です。

いま、
\begin{equation}
\mathrm{DF}=xa
\end{equation}であるので、△AFDの面積は、
\begin{eqnarray}
\triangle \mathrm{AFD} &=& \frac{1}{2} xa \cdot xb \\
&=& \frac{1}{2} x^2 ab
\end{eqnarray}
となります。

一方、
\begin{equation}
\mathrm{FA}=xc
\end{equation}であるので、内接円の半径を $r$ とすると、△AFDの面積は、
\begin{eqnarray}
\triangle \mathrm{AFD} &=& \frac{1}{2}(xa+xb+xc)r \\
&=& \frac{1}{2} x(a+b+c)r
\end{eqnarray}
とも書けます。

つまり、
\begin{equation}
\frac{1}{2} x^2 ab = \frac{1}{2} x(a+b+c)r
\end{equation}が成り立っています。
両辺を2倍して $x(\neq 0)$ で割ると、
\begin{equation}
xab = (a+b+c)r
\end{equation}
更に変形して、
\begin{equation}
r=\frac{xab}{a+b+c}
\end{equation}となります。
ここで、
\begin{equation}
x=\frac{c}{a+b}
\end{equation}ですので、
\begin{equation}
r=\frac{ab}{a+b+c} \frac{c}{a+b}
\end{equation}が得られます。

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