△ABCの頂点A, B, C、傍心IA, IB, ICの位置ベクトルをそれぞれ
とすると、
\begin{eqnarray}
\vec{i}_\mathrm{A} &=& \frac{-a \, \vec{a} +b \, \vec{b} \, +c \, \vec{c}}{-a +b +c} \\
\vec{i}_\mathrm{B} &=& \frac{a \, \vec{a} -b \, \vec{b} \, +c \, \vec{c}}{a -b +c} \\
\vec{i}_\mathrm{C} &=& \frac{a \, \vec{a} +b \, \vec{b} \, -c \, \vec{c}}{a +b -c}
\end{eqnarray}
なお、は辺BC, CA, ABの長さです。
頂点Aから見て対辺BCの反対側にある傍心をIA、傍接円の半径をとします。記号の読み替えは次の通りです。
頂点 対辺 傍心 半径 A BC IA B CA IB C AB IC
\begin{eqnarray}
\triangle \mathrm{I_A B C} &=& \frac{1}{2} r_\mathrm{A} a \\
\triangle \mathrm{I_A CA} &=& \frac{1}{2} r_\mathrm{A} b \\
\triangle \mathrm{I_A AB} &=& \frac{1}{2} r_\mathrm{A} c
\end{eqnarray}です。
三角形を3分割する点の位置ベクトル - 数式で独楽する
より、
\begin{equation}
\vec{i}_\mathrm{A} = \frac{-a \, \vec{a} +b \, \vec{b} +c \, \vec{c}}{-a +b +c}
\end{equation}となります。
頂点Aと傍心IAの間に辺BCがあるので、△IABCの面積は負の値として扱っています。
同様にして、
\begin{eqnarray}
\vec{i}_\mathrm{B} &=& \frac{a \, \vec{a} -b \, \vec{b} \, +c \, \vec{c}}{a -b +c} \\
\vec{i}_\mathrm{C} &=& \frac{a \, \vec{a} +b \, \vec{b} \, -c \, \vec{c}}{a +b -c}
\end{eqnarray}です。
こちらも係数の和が1になっています。
3辺の長さが出て来る、美しい形です。
3点で定まる平面上の点の位置ベクトル - 数式で独楽する
