△ABCを点Xが分割しています。△XBC, △XCA, △XABの面積をそれぞれ
とすると、点Xの位置ベクトル
は、A, B, Cの位置ベクトル
で、次のように表せます。
\begin{equation}
\vec{x} = \frac{p \, \vec{a} +q \, \vec{b} +r\, \vec{c}}{p +q +r}
\end{equation}
ただし、点Xと頂点Aの間に辺BCがある場合は面積は負とします。
についても同様で、記号の読み替えは次の通りです。
頂点 辺 面積 A BC B CA C AB
三角形を3分割する点が、分割してできた面積で表現できるとは、面白い形です。
直線AXと辺BCの交点をYとすると、
\begin{equation}
\mathrm{BY:CY} = r:q
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AY}} = \frac{q \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{q +r}
\end{equation}と表すことができます。
また、
\begin{eqnarray}
\triangle \mathrm{XYB} &=& \frac{pr}{q +r} \\
\triangle \mathrm{XYC} &=& \frac{q r}{q +r}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\mathrm{AX:AY} = r : \frac{pr}{q +r} = 1 : \frac{p +q +r}{q +r}
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\mathrm{AX} = \frac{q +r}{p +q +r} \, \mathrm{AY}
\end{equation}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AX}} &=& \frac{q +r}{p +q +r} \frac{q \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{q +r} \\
&=& \frac{q \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{p +q +r}
\end{eqnarray}となります。
位置ベクトルで記述すると、
\begin{equation}
\vec{x} -\vec{a} = \frac{q \, \left( \vec{b} -\vec{a} \right) +r \, \left( \vec{c} -\vec{a} \right)}{p +q +r}
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\vec{x} = \frac{p \, \vec{a} +q \, \vec{b} +r \, \vec{c}}{p +q +r}
\end{equation}を得ます。
こちらも係数の和が1になっています。
3点で定まる平面上の点の位置ベクトル - 数式で独楽する
