△ABCの頂点A, B, C、内心Iの位置ベクトルをそれぞれ
とすると、
\begin{equation}
\vec{i} = \frac{a \, \vec{a} +b \, \vec{b} \, +c \, \vec{c}}{a +b +c}
\end{equation}
なお、は辺BC, CA, ABの長さです。
内接円の半径をとすると、
\begin{eqnarray}
\triangle \mathrm{IB C} &=& \frac{1}{2} ra \\
\triangle \mathrm{ICA} &=& \frac{1}{2} rb \\
\triangle \mathrm{IAB} &=& \frac{1}{2} rc
\end{eqnarray}です。
三角形を3分割する点の位置ベクトル - 数式で独楽する
より、
\begin{equation}
\vec{i} = \frac{a \, \vec{a} +b \, \vec{b} +c \, \vec{c}}{a +b +c}
\end{equation}となります。
こちらも係数の和が1になっています。
3辺の長さが出て来る、美しい形です。
3点で定まる平面上の点の位置ベクトル - 数式で独楽する
リンクの補題を用いなくても導けます。
三角形の内心の位置ベクトル その2 - 数式で独楽する
