△ABCにおいて、辺BC上の点P、辺CA上の点Q、辺AB上の点Rが
\begin{eqnarray}
\mathrm{AR:RB} &=& y:x \\
\mathrm{BP:PC} &=& z:y \\
\mathrm{C Q:QA} &=& x:y
\end{eqnarray}が成り立つとき、AP, BQ, CRは1点Oで交わります。
3頂点A, B, Cと交点Oの位置ベクトルをそれぞれとすると、
\begin{equation}
\vec{o} = \frac{x \, \vec{a} +y \, \vec{b} +z \, \vec{c}}{x +y +z}
\end{equation}が成り立ちます。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \, \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \, \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}} = \frac{y}{x} \, \frac{z}{y} \, \frac{x}{z} = 1
\end{equation}なので、チェバの定理の逆により、AP, BQ, CRは1点Oで交わることが示されます。
チェバの定理の逆 - 数式で独楽する
また、以下の三角形の面積について
\begin{eqnarray}
\triangle \mathrm{OAB} : \triangle \mathrm{OBC} &=& z:x \\
\triangle \mathrm{OBC} : \triangle \mathrm{OCA} &=& x:y \\
\triangle \mathrm{OCA} : \triangle \mathrm{OAB} &=& y:z
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{OBC} : \triangle \mathrm{OCA} : \triangle \mathrm{OAB} = x:y:z
\end{equation}となります。
したがって、
三角形を3分割する点の位置ベクトル - 数式で独楽する
により、
\begin{equation}
\vec{o} = \frac{x \, \vec{a} +y \, \vec{b} +z \, \vec{c}}{x +y +z}
\end{equation}が成り立ちます。
こちらも係数の和が1になっています。
3点で定まる平面上の点の位置ベクトル - 数式で独楽する
