等差数列の和

差が一定の数列を、等差数列といいます。
等差数列において、この一定の差のことを公差といいます。

初項、公差の等差数列の一般項(第項)は、
\begin{equation}
a_n=a+(n-1)d
\end{equation}と表せます。
この数列の、第項までの和を求めてみましょう。
式で書くと、
\begin{equation}
S_n=a_1+a_2+ a_3 +\cdots +a_{n-1}+a_n \end{equation}です。
逆から書いてみましょう。
\begin{equation}
S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2} \cdots +a_2+a_1
\end{equation}となります。
逆から足し算しても、当然、和は同じになります。

2つの式を書き換えます。
\begin{eqnarray}
S_n &=& a &+& (a+d) &+& (a+2d) &+& \cdots &+& \{ a+(n-2)d \} &+& \{ a+(n-1)d \} \\
S_n &=& \{ a+(n-1)d \} &+& \{ a+(n-2)d \} &+& \{ a+(n-3)d \} &+& \cdots &+& (a+d) &+& a
\end{eqnarray}
両辺を相加えます。
\begin{eqnarray}
2S_n &=& \underbrace{ \{2a+(n-1)d \}+\{2a+(n-1)d \}+\cdots +\{2a+(n-1)d \}}_{n個} \\
&=& n\{2a+(n-1)d \} \\
&=& 2na+n(n-1)d
\end{eqnarray}
よって、
\begin{equation}
S_n= na + \frac{1}{2}n(n-1)d
\end{equation}となります。
和の記号を使って書くと、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n} \{a+(k- 1)d \} = na + \frac{1}{2}n(n-1)d
\end{equation}となります。