自然数の和 - 数式で独楽する

1から $n$ までの自然数の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k$ を見ていきます。
きちんと書くと
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k= 1+2+\cdots +n
\end{equation}です。

等差数列の和 - 数式で独楽する
の
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n} \{ a+(k- 1)d \} = na + \frac{1}{2}n(n-1)d
\end{equation}で、 $a=1,d=1$ と置くと得られます。
つまり、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n(n+1)
\end{equation}です。

逆に、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n(n+1)
\end{equation}から出発して、
等差数列の和 - 数式で独楽する
を導くことができます。
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n \{ a+(k- 1)d \} &=& \sum_{k=1}^n a - \left( \sum_{k=1}^n k \right) d+ \sum_{k=1}^n d \\
&=& na + \frac{1}{2}n(n+1)d - nd \\
&=& na + \frac{1}{2}n(n-1)d\
\end{eqnarray}
となります。