2項間漸化式その2

漸化式
\begin{equation}
a_{n+1}=p a_n+q
\end{equation}を満たす数列の一般項について見ていきます。
数列中の2項で式ができているので2項間漸化式といいます。
なお、は定数、初項はとします。
一般項は、これらとで表すことができるのです。

ここでは、
2項間漸化式 - 数式で独楽する
と異なるアプローチで攻めていきます。
また、

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は先の記事でやっているので本稿では除外します。
すなわち、
\begin{equation}
p \neq 1, \ pq \neq 0
\end{equation}です。

では、いきましょう。
最初の漸化式を再掲します。
\begin{eqnarray}
a_{n+1} &=& p a_n &+q \\
a_n &=& p a_{n-1} &+q
\end{eqnarray}
添字を1つずらして式をもう1本書いています。

辺々相引くと、が消えます。
\begin{equation}
a_{n+1} - a_n = p(a_n - a_{n-1})
\end{equation}これは、階差数列が公比の等比数列であることを示しています。
したがって、
\begin{eqnarray}
a_{n+1} - a_n &=& (a_2 - a_1)p^{n-1} \\
&=& \left \{ (p a_1 +q) - a_1 \right \} p^{n-1} \\
&=& \left \{ (p-1)a_1 + q \right \} p^{n-1}
\end{eqnarray}
となります。
ここから、
\begin{eqnarray}
a_n &=& (a_n-a_{n-1}) + (a_{n-1}-a_{n-2}) + \cdots + (a_2-a_1) + a_1 \\
&=& \{ (p-1)a_1 + q \} (p^{n-2} + p^{n-3} + \cdots + 1) + a_1 \\
&=& \{ (p-1)a_1 + q \} \cdot \frac{1-p^{n-1}}{1-p} + a_1 \\
&=& -(1-p^{n-1})a_1 + \frac{q(1-p^{n-1})}{1-p} +a_1 \\
&=& a_1 p^{n-1} + \frac{q(1-p^{n-1})}{1-p}
\end{eqnarray}
となります。