2023年京大文系第4問 - 数式で独楽する

数列 $\{ a_n \}$ は次の条件を満たしている。
\begin{eqnarray}
a_1 &=& 3 \\
a_n &=& \frac{S_n}{n} +(n -1) \cdot 2^n \quad (n = 2,3,4, \cdots)
\end{eqnarray}
ただし $S_n = a_1 +a_2 +\cdots +a_n$ である。このとき、数列 $\{ a_n \}$ の一般項を求めよ。

解答例
解説

解答例

与式より、
\begin{eqnarray}
na_n &=& S_n +(n -1)n \cdot 2^n \tag{1} \\
(n +1)a_{n +1} &=& S_{n +1} +n(n +1) \cdot 2^{n +1} \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

式(2)から式(1)を辺々相引きます。
\begin{eqnarray}
n(n +1) \cdot 2^{n +1} -(n -1)n \cdot 2^n &=& n \cdot 2^n \left \{ 2(n +1) -(n -1) \right \} \\
&=& n(n +3) \cdot 2^n
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
(n +1)a_{n +1} -na_n= a_{n +1} +n(n +3) \cdot 2^n
\end{equation}となります。
整理すると
\begin{equation}
na_{n +1} -na_n = n(n +3) \cdot 2^n
\end{equation}です。

両辺を $n$ で割ります。さらに $n$ を $n -1, \cdots, 1$ と置き換えると、
\begin{eqnarray}
a_{n +1} -a_n &=& (n +3) \cdot 2^n \\
a_n -a_{n -1} &=& (n +2) \cdot 2^{n -1} \\
& \vdots & \\
a_2 -a_1 &=& 4 \cdot 2
\end{eqnarray}となります。
各式を辺々相加え、
\begin{equation}
a_{n +1} -a_1 = \sum_{k = 1}^n (k +3) \cdot 2^k \tag{3} \\
\end{equation}を得ます。

式(3)のうち、
\begin{eqnarray}
\sum_{k = 1}^n 3 \cdot 2^k &=& \frac{6(2^n -1)}{2 -1} \tag{4} \\
&=& 6(2^n -1)
\end{eqnarray}です。
等比数列の和と等比級数 - 数式で独楽する

次に $\displaystyle \sum_{k = 1}^n k \cdot 2^k$ の部分を求めます。
$x \ne 1$ のとき
\begin{equation}
1 +x +x^2 +\cdots +x^n = \frac{x^{n +1} -1}{x -1}
\end{equation}です。
両辺を $x$ で微分すると、
\begin{eqnarray}
1 +2x +\cdots +nx^{n -1} &=& \frac{(n +1)x^n (x -1) -(x^{n +1} -1)}{(x -1)^2} \\
&=& \frac{nx^{n +1} -(n +1)x^n +1}{(x -1)^2}
\end{eqnarray}となります。
$x = 1$ とすると
\begin{equation}
\sum_{k = 1}^n k \cdot 2^{k -1} k \cdot 2^{k -1} = n \cdot 2^{n +1} -(n +1) \cdot 2^n +1
\end{equation}となり、さらに両辺を2倍して
\begin{equation}
\sum_{k = 1}^n k \cdot 2^k = n \cdot 2^{n +2} -(n +1) \cdot 2^{n +1} +2 \tag{5}
\end{equation}を得ます。
「等差数列と等比数列の積」の和 - 数式で独楽する

式(4), (5)を式(3)に代入すると、
\begin{eqnarray}
a_{n +1} -3 &=& n \cdot 2^{n +2} -(n +2) \cdot 2^{n +1} +2 +6(2^n -1) \\
a_{n +1} &=& n \cdot 2^{n +2} -(n +1) \cdot 2^{n +1} +6 \cdot 2^n -1 \\
&=& n \cdot 2^{n +2} -(n -2) \cdot 2^{n +1} -1 \\
&=& (n +2) \cdot 2^{n +1} -1
\end{eqnarray}となります。

よって、一般項は
\begin{equation}
a_n = (n +1) \cdot 2^n -1
\end{equation}です。