ネイピア数 - 数式で独楽する

今回は、
【利息のはなし】○分の1年複利を考える - 数式で独楽する
で紹介しましたが、

ネイピア数 $e$

についてお話をします。

なぜ
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=e
\end{equation}と言えるのか、そもそも無限大になっちゃうんじゃないのか？
というところを見ていきます。

おもむろに、自然数 $n$ に対して数列 $\{a_n\}$ を、
\begin{equation}
a_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n
\end{equation}と定めます。
ここで見ていくのは数列 $\{ a_n\}$ が、

単調増加であること
上に有界であること

の2点です。

1の「単調増加」とは、
\begin{equation}
a_n < a_{n+1}
\end{equation}であることです。

$n$ が大きくなると、 $a_n$ も大きくなる

ということです。

2の「上に有界」とは
\begin{equation}
全てのnに対し、a_n\leq 定数
\end{equation}ということです。

1と2の合わせ技で、すなわち、

だんだん大きくなるが、
一定の値を超えない

ので、 $\{ a_n \}$ は収束するのです。

単調増加

まず、単調増加の部分を見ていきましょう。
二項定理を用いて展開していきます。
二項定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
a_n &=& \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n \\
&=& 1+ n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!} \frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \frac{1}{n^3} + \cdots + \frac{n(n-1)(n-2)\cdots \cdot 2 \cdot 1}{n!} \frac{1}{n^n} \\
&=& 1+1+\frac{1}{2!} \left( 1-\frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3!} \left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right) + \cdots + \frac{1}{n!} \left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1-\frac{n-1}{n} \right)
\end{eqnarray}
同様に、
\begin{eqnarray}
a_{n+1} &=& \left( 1+\frac{1}{n+1} \right) ^{n+1} \\
&=& 1+ (n+1) \cdot \frac{1}{n+1} + \frac{(n+1)n}{2!} \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{(n+1)n(n-1)}{3!} \frac{1}{(n+1)^3} + \cdots + \frac{(n+1)n(n-1)\cdots \cdot 3 \cdot 2}{n!} \frac{1}{(n+1)^n} + \frac{(n+1)n(n-1)\cdots \cdot 2 \cdot 1}{(n+1)!} \frac{1}{(n+1)^{n+1}} \\
&=& 1+1+\frac{1}{2!} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{3!} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{2}{n+1} \right) + \cdots + \frac{1}{n!} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{2}{n+1} \right) \cdots \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) + \frac{1}{(n+1)!} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{2}{n+1} \right) \cdots \left( 1-\frac{n-1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{n}{n+1} \right)
\end{eqnarray}
となります。
改めて、比べてみましょう。
\begin{eqnarray}
a_n &=& 1+1&+& \frac{1}{2!} \left( 1-\frac{1}{n} \right) &+& \frac{1}{3!} \left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right) &+& \cdots &+& \frac{1}{n!} \left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1-\frac{n-1}{n} \right) &&\\
a_{n+1} &=& 1+1&+&\frac{1}{2!} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) &+& \frac{1}{3!} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{2}{n+1} \right) &+& \cdots &+& \frac{1}{n!} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{2}{n+1} \right) \cdots \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) &+& \frac{1}{(n+1)!} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{2}{n+1} \right) \cdots \left( 1-\frac{n-1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{n}{n+1} \right)
\end{eqnarray}
両者の第1項と第2項はそれぞれ等しいです。
第3項から第 $n+1$ 項を見てみましょう。
係数に、
\begin{equation}
\frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \cdots , \frac{1}{n!}
\end{equation}が係っている項です。
\begin{equation}
\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}
\end{equation}なので、括弧の中は全て $a_{n+1}$ の方が大きくなります。
さらに、 $a_{n+1}$ には第 $n+2$ 項
\begin{equation}
\frac{1}{(n+1)!} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{2}{n+1} \right) \cdots \left( 1-\frac{n-1}{n+1} \right) \left( 1-\frac{n}{n+1} \right) > 0
\end{equation}が加わっています。この項は、 $a_n$ にはありません。
ゆえに、
\begin{equation}
a_n < a_{n+1}
\end{equation}となります。

上に有界

次に、上に有界の部分を見ていきましょう。
\begin{eqnarray}
a_n &=& 1+1+ \frac{1}{2!} \left( 1-\frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3!} \left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right) + \cdots + \frac{1}{n!} \left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1-\frac{n-1}{n} \right) \\
&<& 1+1+ \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} \\
&<& 1+1+ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} \\
&=& 1+ \frac{1-\displaystyle{\left( \frac{1}{2} \right) ^n}}{1-\displaystyle{\frac{1}{2}}} \\
&<& 1+ \frac{1}{1-\displaystyle{\frac{1}{2}}} \\
&=& 1+ \frac{2}{2-1} \\
&=& 3
\end{eqnarray}
式の解説をします。
1行目の括弧の中は全て1未満です。
なので1行目<2行目が成り立ちます。
2行目の階乗で2より大きい部分を全て2に置き換えると、
2行目<3行目が成り立ちます。
3行目は途中から等比数列の和になっているので、4行目に変形できます。