ばねによる質点の運動(抵抗、外力あり)

ばね(発条)に繋がれた質点の運動について見ていきます。

前回では質点の運動に、速度に比例した抵抗が働くものとしました。
ばねによる質点の運動(抵抗あり) - 数式で独楽する

本稿では、さらに外力が働く系を考えます。

質量 $m$ の質点の運動方程式は、
\begin{equation}
m \frac{d^2 x}{dt^2} +2m\gamma \frac{dx}{dt} +m{\omega_0}^2 x = f(t)
\end{equation}です。
ここで $f(t)$ は外力項で、周期 $T$ を持つものとします。すなわち
\begin{equation}
f(t +T) = f(t)
\end{equation}が成り立つものとします。
さらに、次のようにフーリエ展開できるものとします。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \sum_{n = -\infty}^\infty f_n \, e^{in\omega t} \\
f_n &=& \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, e^{-in \omega t} \, dt \\
\omega &=& \frac{2\pi}{T}
\end{eqnarray}
フーリエ級数 - 数式で独楽する

特殊解 $x(t)$ は周期 $T$ を持つと考えられます。
\begin{eqnarray}
x(t) &=& \sum_{n = -\infty}^\infty x_n \, e^{2\pi i nt /T} \\
&=& \sum_{n = -\infty}^\infty x_n \, e^{in \omega t}
\end{eqnarray}

元の微分方程式に代入します。
\begin{equation}
\sum_{n = -\infty}^\infty m \left \{ (in \omega)^2 +2\gamma(in \omega) +{\omega_0}^2 \right \} x_n \, e^{in \omega t} = \sum_{n = -\infty}^\infty f_n \, e^{in \omega t}
\end{equation}
各 $e^{in \omega t}$ の係数が等しいとして、
\begin{equation}
x_n = \frac{f_n}{m} \frac{1}{{\omega_0}^2 -(n\omega)^2 +2in\omega \gamma}
\end{equation}を得ます。

よって特殊解は
\begin{equation}
x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty \frac{f_n}{m} \frac{1}{{\omega_0}^2 -(n\omega)^2 +2in\omega \gamma} \, e^{in\omega t}
\end{equation}となります。
一般解は、これに斉次形の一般解を重ね合わせたものになります。
非斉次線型微分方程式の解法 - 数式で独楽する

$\gamma = 0$ の場合
外力がなければ単振動になります。
特殊解は
\begin{equation}
x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty \frac{f_n}{m} \frac{1}{{\omega_0}^2 -(n\omega)^2} \, e^{in\omega t}
\end{equation}となります。

さらに $\omega_0 = k\omega$ なる整数 $k$ がある場合は
\begin{eqnarray}
x(t) &=& \sum_{n \ne k} \frac{f_n}{m} \frac{1}{{\omega_0}^2 -(n\omega)^2} \, e^{in\omega t} +\lim_{k\omega \to \omega_0} \frac{f_k}{m} \frac{e^{ik\omega t} -e^{i\omega_0 t}}{{\omega_0}^2 -(k\omega)^2} \\
&=& \sum_{n \ne k} \frac{f_n}{m} \frac{1}{{\omega_0}^2 -(n\omega)^2} \, e^{in\omega t} -\lim_{k\omega \to \omega_0} \frac{f_k}{m} \frac{e^{ik\omega t} -e^{i\omega_0 t}}{(k\omega +\omega_0)(k\omega -\omega_0)} \\
&=& \sum_{n \ne k} \frac{f_n}{m} \frac{1}{{\omega_0}^2 -(n\omega)^2} \, e^{in\omega t} -\frac{if_k}{2m\omega_0} \, t \, e^{i\omega_0 t}
\end{eqnarray}となります。
第2項は、時間とともに振幅が大きくなることを示しています。
さて、元の微分方程式の $\omega_0$ は固有振動数です。その整数倍となる振動数で外力を加えると、運動は発散していきます。