1からまでの自然数の和
を別の方法で求めていきます。
と言っても
等差数列の和 - 数式で独楽する
とやり方は同じです。
\begin{equation}
S _n=\sum_{k=1}^n k
\end{equation}と置きます。
\begin{equation}
S_n = 1+2+\cdots +n
\end{equation}です。
逆から足し算しても同じです
\begin{equation}
S_n = n + (n-1) + \cdots + 1
\end{equation}両辺を相加えます。
\begin{eqnarray}
2S_n &=& \underbrace{(n+1) + (n+1) + \cdots + (n-1)}_{n個} \\
&=& n(n+1)
\end{eqnarray}
よって、
\begin{equation}
S_n = \frac{1}{2} n(n+1)
\end{equation}つまり、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n(n+1)
\end{equation}が得られます。
