高校の教科書では、主要な関数の微分すなわち導関数を求め、その逆の演算として積分すなわち原始関数を求めます。
本稿では、その逆ができないか、考えてみます。
手掛かりは、
定積分 - 数式で独楽する
です。
定積分
\begin{equation}
\int_0^x f(t)dt = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta t \tag{1}
\end{equation}を幾つかの関数について求めてみます。
なお、
\begin{equation}
t_k = \frac{k}{n}x, \quad \Delta t = \frac{x}{n} \tag{2}
\end{equation}です。
前回の記事はこちら
微分を前提としない積分の定式化 - 数式で独楽する
2次関数
\begin{equation}
f(t) = t^2
\end{equation}の場合を考えます。
式(1), (2)より、
\begin{eqnarray}
\int_0^x f(t)dt &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n}x \right)^2 \cdot \frac{x}{n} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \sum_{k=1}^n k^2 \right) x^2 \cdot \frac{x}{n} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \frac{1}{6}n(n +1)(2n +1) \right) x^2 \cdot \frac{x}{n} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6} \frac{n(n +1)(2n +1)}{n^3} x^3 \\
&=& \frac{1}{3} x^3
\end{eqnarray}
となります。
途中、と無関係の部分を和の記号の外に出しています。
さらに、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n(n +1)(2n +1)
\end{equation}を用いています。
自然数の2乗の和 - 数式で独楽する
3次関数
\begin{equation}
f(t) = t^3
\end{equation}の場合を考えます。
式(1), (2)より、
\begin{eqnarray}
\int_0^x f(t)dt &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n}x \right)^3 \cdot \frac{x}{n} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \left( \sum_{k=1}^n k^3 \right) x^3 \cdot \frac{x}{n} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \left( \frac{1}{2}n(n +1) \right)^2 x^3 \cdot \frac{x}{n} \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} \frac{n^2(n +1)^2}{n^4} x^4 \\
&=& \frac{1}{4} x^4
\end{eqnarray}
となります。
途中、と無関係の部分を和の記号の外に出しています。
さらに、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{1}{2} n(n +1)\right)^2
\end{equation}を用いています。
自然数の和の2乗と自然数の3乗の和 - 数式で独楽する
