のような1桁の数の常用対数は幾らか
ということを簡便に見ていきます。
精度は、せいぜい2桁ですが、
toy1972.hatenablog.com
よりも悪くなります。
log 3
\begin{equation}
3^4 =81 \approx 80=2^3 \times 10
\end{equation}です。
常用対数を取ります。
\begin{equation}
4\log 3 \approx 3\log 2 +1
\end{equation}となります。
\begin{equation}
\log 2 \approx 0.3
\end{equation}なので、
\begin{equation}
4\log 3 \approx 1.9
\end{equation}ゆえに、
\begin{equation}
\log 3 \approx 0.475
\end{equation}となります。
なお、
\begin{equation}
\log 3 = 0.4771\cdots
\end{equation}です。
こちらも、簡便な計算としては申し分ない精度です。
もう少し乱暴な近似で良ければ、
\begin{equation}
3^2=9 \approx 10
\end{equation}として、
\begin{equation}
2\log 3 \approx 1
\end{equation}となり、
\begin{equation}
\log 3 \approx 0.5
\end{equation}が得られます。
手元に普通のグラフ用紙しかなくて対数目盛のグラフを描きたい場合、
- 3/10と7/10の所に2と5の目盛を打っておけば急場は凌げます。
という話を
2, 4, 5, 8の常用対数の近似 - 数式で独楽する
でしましたが、
- 1/2の所に3の目盛を打つ
のも「あり」だと思います。
log 9
\begin{equation}
9=3^2
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\log 9 = 2\log 3 \approx 0.95
\end{equation}です。
log 6
\begin{equation}
6=2\times 3
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\log 6=\log 2 + \log 3 \approx 0.775
\end{equation}です。
log 7
\begin{equation}
7^2=49 \approx 50 = \frac{1}{2} \times 10^2
\end{equation}です。
常用対数を取ると、
\begin{equation}
2 \log 7 \approx -\log 2 +2
\end{equation}となります。
\begin{equation}
\log 2 \approx 0.3
\end{equation}なので、
\begin{equation}
2 \log 7 \approx 1.7
\end{equation}となります。
ゆえに、
\begin{equation}
\log 7 \approx 0.85
\end{equation}です。
