2005年前期京大理系第2問別解

$\displaystyle 2^{10} < \left( \frac{5}{4} \right)^n < 2^{20}$ を満たす自然数 $n$ は何個あるか。ただし $0.301 < \log_{10} 2 < 0.3011$ である。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
\log_{10} \frac{5}{4} = \log_{10} \frac{10}{2^3} = 1 -3 \log_{10} 2
\end{equation}なので、条件式の常用対数を取ります。
\begin{equation}
10 \log_{10} 2 < n(1 -3\log_{10} 2) < 20 \log_{10} 2 \tag{1}
\end{equation}
ここで
\begin{equation}
f(x) = \frac{x}{1 -3x}
\end{equation}とすると、式(1)は
\begin{equation}
10 \, f(\log_{10} 2) < n < 20 \, f(\log_{10} 2) \tag{2}
\end{equation}となります。

\begin{equation}
f(x) = -\frac{1}{3} \frac{3x}{3x -1} = -\frac{1}{3} \left( 1 +\frac{1}{3x -1} \right)
\end{equation}は $\displaystyle x < \frac{1}{3}$ で単調増加です。
f:id:toy1972:20220117221054p:plain:w300
したがって、式(2)は
\begin{equation}
10 \, f(\log_{10} 2) < 10 \, f(0.3011) < n < 20 \, f(0.301) < 20 \, f(\log_{10} 2)
\end{equation}と絞り込むことができます。

中央の3つより、
\begin{equation}
31.13 \cdots < n < 62.06 \cdots
\end{equation}を得ます。

よって、求める $n$ は32から62の31個となります。

解説

桁数を求めることに類似した、典型的な対数を用いる問題です。
本問では対数の値を範囲で指定していることから、それを用いて絞り込んでいます。
\begin{equation}
\cdots < n < \cdots
\end{equation}の形にしてみると、不等式の左辺と右辺は定数倍は違えど同じ形をしています。同じ形の所に着目すると、絞り込みがすっきりした形になります。
とはいえ、やっていることは
2005年前期京大理系第2問 - 数式で独楽する
と本質的に同じです。