9^x+15^x=25^x - 数式で独楽する

\begin{equation}
9^x + 15^x = 25^x
\end{equation}を満たす未知数 $x$ を求めよ。

指数に未知数があります。
どこかの時点で対数をとれば求められるはずです。
しかし足し算が含まれており、一筋縄ではいきそうにありません。

式を眺めると、
\begin{equation}
9=3^2, \quad 15=3 \cdot 5, \quad 25=5^2 \tag{0}
\end{equation}であることに気がつきます。

このことを踏まえて、与式
\begin{equation}
9^x + 15^x =25^x \tag{1}
\end{equation}を書き換えます。
\begin{equation}
\left( 3^2 \right) ^x + \left( 3 \cdot 5 \right) ^x = \left( 5^2 \right) ^x
\end{equation}
さらに両辺を $3^2$ で割ると、次のようになります。
\begin{equation}
1 + \left( \frac{5}{3} \right) ^x = \left( \frac{5}{3} \right) ^{2x} \tag{2}
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
y = \left( \frac{5}{3} \right) ^x \tag{3}
\end{equation}と置くと、式(2)は次のようになります。
\begin{equation}
1 + y = y^2 \tag{4}
\end{equation}2次方程式になりました。

式(4)を解くと、
\begin{equation}
y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{equation}ですが、式(3)のため、 $y>0$ の場合しかあり得ません。
したがって、
\begin{equation}
y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \tag{5}
\end{equation}となります。

式(3), (5)より、
\begin{equation}
\left( \frac{5}{3} \right) ^x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{equation}が得られます。
ここでようやく対数をとることができるようになりました。
両辺の常用対数をとります。
\begin{equation}
x \log \frac{5}{3} = \log \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{equation}整理すると、
\begin{equation}
x = \cfrac{\log \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}{\ \log 5 - \log 3 \ } \tag{6}
\end{equation}となります。

以上より、
\begin{equation}
9^x + 15^x =25^x \tag{1}
\end{equation}を満たす未知数 $x$ は、
\begin{equation}
x = \cfrac{\log \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}{\ \log 5 - \log 3 \ } \tag{6}
\end{equation}と求められます。

ちなみに、具体的な数値は、
\begin{equation}
x = \cfrac{\log \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}{\ \log 5 - \log 3 \ } = 0.942027577\cdots
\end{equation}で、このとき、
\begin{equation}
9^x + 15^x =25^x = 20.74426446\cdots
\end{equation}です。

この設問では、以下のことがポイントでした。