2005年前期京大理系第2問 - 数式で独楽する

$\displaystyle 2^{10} < \left( \frac{5}{4} \right)^n < 2^{20}$ を満たす自然数 $n$ は何個あるか。ただし $0.301 < \log_{10} 2 < 0.3011$ である。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
\log_{10} \frac{5}{4} = \log_{10} \frac{10}{2^3} = 1 -3 \log_{10} 2
\end{equation}なので、条件式の常用対数を取ります。
\begin{equation}
10 \log_{10} 2 < n(1 -3\log_{10} 2) < 20 \log_{10} 2 \tag{1}
\end{equation}

左辺と中辺より、
\begin{equation}
10 \log_{10} 2 < 10 \times 0.3011 < n(1 -3 \times 0.3011) < n(1 -3\log_{10} 2)
\end{equation}で、
\begin{eqnarray}
3.011 &<& 0.0967n \\
31.13 \cdots &<& n \tag{2}
\end{eqnarray}となります。

一方、中辺と右辺より、
\begin{equation}
n(1 -3\log_{10} 2) < n(1 -3 \times 0.301) < 20 \times 0.301 < 20 \log_{10} 2
\end{equation}で、
\begin{eqnarray}
0.097n &<& 6.02 \\
n &<& 62.06 \cdots \tag{3}
\end{eqnarray}となります。

式(2), (3)より、
\begin{equation}
31.13 \cdots < n < 62.06 \cdots
\end{equation}を得ます。

よって、求める $n$ は32から62の31個となります。