2019年、京大理系第6問 - 数式で独楽する

\begin{equation}
(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}
\end{equation}となる最小の自然数 $n$ を求めよ。*1

問題文は至極シンプルに書かれています。
ですが、真正面から行くと $n$ 乗の処理が面倒臭そうです。

絶対値*2と偏角 *3で書いてみましょう。*4
\begin{eqnarray}
1+i &=& \sqrt{2} e^{\pi i/4} \\
1-i &=& \sqrt{2} e^{-\pi i /4}
\end{eqnarray}

絶対値は共に $\sqrt{2}$ です。
複素数を $n$ 乗すると、絶対値も $n$ 乗となります。

偏角は $e$ の指数部分に、虚数単位iの係数で表されており、 $\pm \pi /4$ です。

それぞれ $n$ 乗すると、
\begin{eqnarray}
(1+i)^n &=& 2^{n/2} e^{n \pi i/4} \\
(1-i)^n &=& 2^{n/2} e^{-n \pi i /4}
\end{eqnarray}
となります。
互いに複素共役(共軛)*5の関係にあります。

\begin{equation}
a_n=(1+i)^n+(1-i)^n
\end{equation}と置くと、 $a_n$ は実数になります。
ただし、 $n$ によって場合分けが必要で、
\begin{equation}
a_n = \left \{
\begin{array}{ll}
(2 \sqrt{2})^n=2^{n/2+1} & (n = 8k) & \\
2^{(n+1)/2} & (n = 8k-7, \ 8k-1) & \\
0 & (n = 8k-6, \ 8k-2) & \\
-2^{(n+1)/2} & (n = 8k-5, \ 8k-3) & \\
-(2 \sqrt{2})^n=-2^{n/2+1} & (n = 8k-4) & (k=1,2,\cdots)
\end{array}
\right.
\end{equation}
となります。

ここで、 $a_n$ が他よりも大きくなる $n=8k \ (k=1,2,\cdots)$ の場合を考えます。
つまり、
\begin{equation}
a_n=2^{n/2+1}>10^{10}
\end{equation}となる最小の自然数 $n$ を求めていきます。
両辺の常用対数*6を取ります。
\begin{equation}
\log a_n = \left( \frac{n}{2} +1 \right) \log 2>10
\end{equation}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
n &>& 2 \left( \frac{10}{\log 2} -1 \right) \\
&>& 64.445
\end{eqnarray}
となります。*7
ここで、 $n=8k \ (k=1,2,\cdots)$ であるので、
\begin{equation}
(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}
\end{equation}を満たす最小の自然数 $n$ は、
\begin{equation}
n=72
\end{equation}となります。

(ここから、2020.4.21追記)
次に、 $n = 8k - 7, \, 8k - 1 \ (k=1,2, \cdots)$ の場合を考えます。
\begin{equation}
a_n = 2^{(n+1)/2} > 10^{10}
\end{equation}を満たす最小の自然数 $n$ を求めていきます。
両辺の常用対数を取ります。
\begin{equation}
\log a_n = \frac{n+1}{2} \log 2 > 10
\end{equation}より、
\begin{equation}
n > \frac{20}{\log 2} - 1 > 66
\end{equation}が成り立ちます。
ここで、 $n = 8k - 7, \ 8k - 1 \ (k=1,2, \cdots)$ であるので、
\begin{equation}
(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}
\end{equation}を満たす最小の自然数 $n$ は、
\begin{equation}
n=71
\end{equation}となります。

$n$ が他の場合は条件を満たし得ません。

以上より、条件を満たす最小の自然数 $n$ は、
\begin{equation}
n=71
\end{equation}となります。
(2020.4.21の追記、ここまで)

本文、ここまで

*1:式に登場する $i$ は虚数単位で、 \begin{equation} i^2=-1 \end{equation}を満たす数です。実数と虚数、複数の要素からなる数を複素数といいます。

*2:絶対値は、複素数の大きさを表します。 \begin{equation} z=x+iy \end{equation}と書くとき、絶対値は \begin{equation} |z|=\sqrt{x^2+y^2 \end{equation}となります。共役複素数 \begin{equation} \bar{z}=x-iy \end{equation}を用いると \begin{equation} |z|=z\bar{z} \end{equation}と表せます。

*3:偏角は、複素平面に複素数zを描いたときに $0z$ と実軸のなす角です。原点 $z=0$ から $z=1$ に向かって引いた半直線から、反時計回りが正となるように表します。 \begin{equation} z=x+iy \end{equation}と書くとき、偏角は \begin{eqnarray} \arg z &=& \phi && \\ && \cos \phi &=& \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ && \sin \phi &=& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray} で表されます。

*4:複素数 $z$ を絶対値と偏角 $\phi$ で書くと、 \begin{equation} z=|z|e^{i \phi} \end{equation}となります。なお、 \begin{equation} e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \end{equation}です。

*5:本によっては「共軛」と書かれています。こちらが元々の書き方です。「軛」が当用漢字ではないため、「共役」としています。「軛」は「くびき」「剄木」で、家畜に車輌を引かせるときに首にはめる木のこと。「対になるもの」の意味で「共軛」の字が用いられます。また、「束縛するもの」の意味があります。「○○のくびき」はこの意味で用いられています。 2次方程式 \begin{equation} ax^2+bx+c=0 \end{equation}の解 \begin{equation} x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{equation}は、共通の軛にある、ということでしょう。

*6:底(てい)が10の対数。数 $x$ の底を $a$ としたときの $x$ の対数は \begin{equation} \log_{a}x \end{equation}と書くので、常用対数は \begin{equation} \log_{10}x \end{equation}と書くのですが、通常10は省略して \begin{equation} \log x \end{equation}と書きます。底が $e$ の自然対数も底の表記を省略して \begin{equation} \log x \end{equation}と書きます。文脈を見てどちらかを判断する必要があります。常用対数と自然対数を区別する場合は、 \begin{equation} \log_{10}x, \ \log x \end{equation}もしくは \begin{equation} \log x, \ \ln x \end{equation}の組合せで区別しています。

*7: $\log 2 = 0.3010 \cdots$ です。