\begin{equation}
a_{n+2}=p a_{n+1} + q a_n
\end{equation}を満たす数列
数列中の3項で式ができているので3項間漸化式といいます。
なお、
一般項は、これらの定数と
ただし、本稿では見易さ分かり易さを重視し、一般項の式に
また、
\begin{equation}
p=0 \ \mbox{または} \ q=0
\end{equation}であれば2項間漸化式となるのでこの条件を除外し、
\begin{equation}
pq \neq 0
\end{equation}とします。
では、いきましょう。
まず、
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
p = \alpha + \beta \\
q = - \alpha \beta
\end{array}
\right.
\end{equation}を満たすを定めます。*1
さらに、本稿では
\begin{equation}
\alpha = \beta
\end{equation}とします。*2
なお、の場合は別の記事で述べます。
3項間漸化式 - 数式で独楽する
さて、を用いると、漸化式は次のようになります。
\begin{equation}
a_{n+2} = 2\alpha a_{n+1} - \alpha ^2 a_n \end{equation}
この式は、次のようにに変形できます。
\begin{equation}
a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} - \alpha a_n )
\end{equation}
この形は、数列が等比数列であることを示しています。
したがって、
\begin{equation}
a_{n+1} - \alpha a_n = \alpha ^{n-1} (a_2 - \alpha a_1 )
\end{equation}となりますが、と
のどちらも消せなさそうです。
式中のの添字に着目し、漸化式の両辺を
で割ります。
するとどうでしょう。
\begin{equation}
\frac{a_{n+2}}{\alpha^{n+2}} = 2 \cdot \frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} - \frac{a_n}{\alpha^n}
\end{equation}上付きと下付きの添字が一致しました。さらに、
\begin{equation}
\frac{a_{n+2}}{\alpha^{n+2}} - \frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} = \frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} - \frac{a_n}{\alpha^n}
\end{equation}両辺の形が添字を除いて一致しました。
続けます。
\begin{eqnarray}
\frac{a_{n+2}}{\alpha^{n+2}} - \frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} &=& \frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} - \frac{a_n}{\alpha^n} \\
&=& \frac{a_n}{\alpha^n} - \frac{a_{n-1}}{\alpha^{n-1}} \\
& \vdots & \\
&=& \frac{a_2}{\alpha^2} - \frac{a_1}{\alpha} \ (=\mbox{定数})
\end{eqnarray}
つまり、数列は等差数列であることが分かります。
これより、
\begin{eqnarray}
\frac{a_n}{\alpha^n} &=& \frac{a_1}{\alpha} +(n-1) \left( \frac{a_2}{\alpha^2} - \frac{a_1}{\alpha} \right) \\
&=& \frac{a_2}{\alpha^2} (n-1) - \frac{a_1}{\alpha} (n-2)
\end{eqnarray}
となります。
よって、
\begin{equation}
a_n = \alpha^{n-2} (n-1) a_2 - \alpha^{n-1} (n-2) a_1
\end{equation}となります。
の場合は、先に書きましたが、別の記事で述べます。
3項間漸化式 - 数式で独楽する
