2002年前期京大文系第1問 - 数式で独楽する

数列 $\{ a_n \}$ の初項 $a_1$ から第 $n$ 項までの和を $S_n$
で表す。この数列が $a_1 = 0, \ a_2 = 1, \ (n -1)^2 a_n = S_n \ (n \geqq 1)$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
(n -1)^2 \, a_n &=& S_n \tag{1} \\
(n -2)^2 \, a_{n -1} &=& S_{n -1} \tag{2}
\end{eqnarray}式(1), (2)を辺々相引いて
\begin{eqnarray}
(n -1)^2 \, a_n -(n -2)^2 \, a_{n -1} &=& a_n \\
\therefore \quad n(n -2) \, a_n &=& (n -2)^2 \, a_{n -1}
\end{eqnarray}を得ます。
$n \geqq 3$ で
\begin{equation}
n \, a_n = (n -2) \, a_{n -1} \tag{3}
\end{equation}となります。

式(3)の両辺に $n -1$ を掛けると数字を1ずつずらしていける形になり、
\begin{eqnarray}
n(n -1) \, a_n &=& (n -1)(n -2) \, a_{n -1} \\
& \vdots & \\
&=& 2 \cdot 1 \cdot a_2
\end{eqnarray}を得ます。
よって、
\begin{equation}
a_n = \frac{2}{n(n -1)}
\end{equation}となります。
これは $n = 2$ のときも成り立ちます。

以上より、一般項は
\begin{eqnarray}
a_1 &=& 0 \\
a_n &=& \frac{2}{n(n -1)} \quad (n \geqq 2)
\end{eqnarray}です。

解説

和と一般項の当たり前の関係
\begin{equation}
S_n = S_{n -1} +a_n
\end{equation}を利用して、 $S_n$ を消去します。
途中、0で割ることはできないので注意が必要です。
途中の項が残る変則的な形です。
理系にも似た問題が出ていますが、こちらの方が易しくなっています。
2002年前期京大理系第1問 - 数式で独楽する

なお、
\begin{eqnarray}
a_n &=& 2 \left( \frac{1}{n -1} -\frac{1}{n} \right) \\
S_n &=& 2 \left( 1 -\frac{1}{n -1} \right) \\
&=& \frac{2n}{n -1}
\end{eqnarray}となり、問題文の条件を満たしています。