\begin{equation}
a_{n+2}=p a_{n+1} + q a_n
\end{equation}を満たす数列
数列中の3項で式ができているので3項間漸化式といいます。
なお、
一般項は、これらの定数と
ただし、本稿では見易さ分かり易さを重視し、一般項の式に
また、
\begin{equation}
p=0 \ または \ q=0
\end{equation}であれば2項間漸化式となるのでこの条件を除外し、
\begin{equation}
pq \neq 0
\end{equation}とします。
では、いきましょう。
まず、
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
p = \alpha + \beta \\
q = - \alpha \beta
\end{array}
\right.
\end{equation}を満たすを定めます。*1
さらに、本稿では
\begin{equation}
\alpha \neq \beta
\end{equation}とします。
理由は後で述べますが、だとこの後の記述で具合が悪くなるのです。
なお、の場合は別の記事で述べます。
3項間漸化式、重解 - 数式で独楽する
さて、を用いると、漸化式は次のようになります。
\begin{equation}
a_{n+2} = (\alpha + \beta )a_{n+1} - \alpha \beta a_n
\end{equation}
この式は、2通りに変形できます。
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n ) \\
a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} - \beta a_n )
\end{array}
\right.
\end{equation}
この形は、数列が等比数列であることを示しています。
したがって、
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
a_{n+1} - \alpha a_n = \beta ^{n-1} (a_2 - \alpha a_1 ) \\
a_{n+1} - \beta a_n = \alpha ^{n-1} (a_2 - \beta a_1 )
\end{array}
\right.
\end{equation}となります。
辺々相引くと、が消えます。
\begin{equation}
(\alpha - \beta )a_n = \alpha ^{n-1} (a_2 - \beta a_1) - \beta ^{n-1} (a_2 - \alpha a_1)
\end{equation}
ここで、なので両辺を
で割ることができます。
そもそもであれば、元の式の変形が1通りだけになってしまい、ここまで辿り着くことができません。
両辺をで割ると、一般項
\begin{equation}
a_n = \frac{\alpha ^{n-1} (a_2 - \beta a_1) - \beta ^{n-1} (a_2 - \alpha a_1)}{\alpha - \beta }
\end{equation}を得ることができます。
の場合はどうするのでしょうか？
それは別の記事で述べます。
3項間漸化式、重解 - 数式で独楽する
