本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の勾配について述べます。
極座標 - 数式で独楽する
スカラーの勾配 - 数式で独楽する
直交座標系における偏微分と単位ベクトルに、極座標系のものを代入すれば得ることができます。
\begin{eqnarray}
\nabla u &=& \frac{\partial u}{\partial x} \, \boldsymbol{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \, \boldsymbol{j} \\
&=& \left( \cos \theta \, \frac{\partial u}{\partial r} -\frac{\sin \theta}{r} \, \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) (\cos \theta \ \boldsymbol{e}_r - \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\theta) \\
&& + \left( \sin \theta \, \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) (\sin \theta \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \ \boldsymbol{e}_\theta) \\
&=& \frac{\partial u}{\partial r} \ \boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \ \boldsymbol{e}_\theta
\end{eqnarray}
これより、2次元極座標系のナブラは、
\begin{equation}
\nabla = \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}
\end{equation}で表すことができることが分かります。
