本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の勾配について述べます。
ここでは、
2次元極座標系の勾配 - 数式で独楽する
とは異なるアプローチをしていきます。
極座標 - 数式で独楽する
スカラーの勾配 - 数式で独楽する
行列
\begin{equation}
R = \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)
\end{equation}を用いると、単位ベクトルと偏微分演算子について
を用いて表すと、
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \end{array} \right)
&=& R \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \end{array} \right) \tag{2}\\
\left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \end{array} \right)
&=& R^{-1} \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \end{array} \right) \tag{3}
\end{eqnarray}となります。
式(2)の行と列を入れ替えます。「転置」といいます。
\begin{equation}
( \boldsymbol{e}_r \ \boldsymbol{e}_\theta ) = (\boldsymbol{i} \ \ \boldsymbol{j}) \, {}^t \! R \tag{4}
\end{equation}転置を行うと、積の順序は逆になります。
行列$R$は
\begin{equation}
{}^t \! R = R^{-1}
\end{equation}を満たすので、式(4)の両辺に右から$R$を掛けると、
\begin{equation}
(\boldsymbol{i} \ \ \boldsymbol{j}) = (\boldsymbol{e}_r \ \boldsymbol{e}_\theta) R \tag{5}
\end{equation}を得ます。
式(3), (5)より、極座標系における勾配を得ます。
\begin{eqnarray}
\nabla u &=& \frac{\partial u}{\partial x} \, \boldsymbol{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \, \boldsymbol{j} \\
&=& (\boldsymbol{i} \ \ \boldsymbol{j}) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \end{array} \right) \\
&=& (\boldsymbol{e}_r \ \boldsymbol{e}_\theta) R R^{-1} \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \end{array} \right) \\
&=& (\boldsymbol{e}_r \ \boldsymbol{e}_\theta) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \end{array} \right) \\
&=&\frac{\partial u}{\partial r} \ \boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \ \boldsymbol{e}_\theta
\end{eqnarray}
これより、極座標系のナブラは
\begin{eqnarray}
\nabla &=& \boldsymbol{i} \, \frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j} \, \frac{\partial}{\partial y} \\
&=& (\boldsymbol{i} \ \ \boldsymbol{j}) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{array} \right) \\
&=& (\boldsymbol{e}_r \ \boldsymbol{e}_\theta) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \end{array} \right) \\
&=& \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}
\end{eqnarray}と表すことができることが分かります。
