代表的な角度の三角比を求めていきます。
このページでは、45ºの三角比を求めてみます。
正方形を対角線で分割すると、直角二等辺三角形ができます。
元の正方形の1辺の長さを1とすると、対角線すなわち直角二等辺三角形の斜辺の長さは、
\begin{equation}
\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}
\end{equation}となります。
したがって、3辺の比は、
\begin{equation}
1:1:\sqrt{2}
\end{equation}となります。
定義にしたがって三角比の値を求めると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\sin 45^\circ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\cos 45^\circ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\tan 45^\circ &=& 1
\end{eqnarray}
ラジアンで書くと、次の通りです。
\begin{eqnarray}
\sin \frac{\pi}{4} &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\cos \frac{\pi}{4} &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\tan \frac{\pi}{4} &=& 1
\end{eqnarray}
ところで、
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{equation}に直すかどうかですが、これは
- 時と場合による
- 書く人の主観による
ところがあるかと私は思います。
分母の無理数を有理数に直しているので「有理化」といいます。
中学の指導では、
「分母の無理数は有理化しなさい」
と言うところです。
ところが、必ずしもそうはなっていないということが、中学の数学の教科書以外の数多ある書籍を見れば分かります。
実際のところ、
- 見た目の美しさ(これは主観)
- その後の計算のしやすさ(これも主観)
などで有理化をしたりしなかったりしています。
そういうところを踏まえて、中学での指導に従っていれば良いかと私は思います。
小さなことで波風を立てても詮ないことです。
ちなみに、
\begin{equation}
\tan 45^\circ = 1
\end{equation}が示すように、
- 勾配100%の角度は45º
です。90ºに対する百分率ではないので注意が必要です。
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