京大 2010年理系第2問 - 数式で独楽する

$x$ を正の実数とする。座標平面上の3点A(0, 1), B(0, 2), P( $x, x$ )をとり、△APBを考える。 $x$ の値が変化するとき、∠APBの最小値を求めよ。

解答例
解説

解答例

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2点A, Bを通り、点Qで直線 $l: \ y=x$ に接する円 $C$ を考えます。
$l$ 上の点Pは、点Qを除き、全て円 $C$ の外側にあるため、
\begin{equation}
\angle \mathrm{AQB} \geqq \angle \mathrm{APB}
\end{equation}が成り立ちます。
つまり、P=Qのとき、∠APBは最大となります。

以下、点Qの座標を求めていきます。

円の中心Cは、線分ABの垂直二等分線 $m: \ y= \displaystyle \frac{3}{2}$ とQ $(s,s)$ で直線 $l$ 上に立てた垂線 $n$ との交点となります。
一方、直線 $l,m$ の交点はR $\displaystyle \left( \frac{3}{2}, \, \frac{3}{2} \right)$ で、両者は45°の角をなします。
つまり、△QCRは直角二等辺三角形であり、
\begin{equation}
\mathrm{QC} = \mathrm{Q R} = \sqrt{2} \left( \frac{3}{2} -s \right) \tag{1}
\end{equation}となります。

また、C $\displaystyle \left( t, \ \frac{3}{2} \right)$ とすると、
\begin{eqnarray}
\mathrm{QC} &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{3}{2} -t \right) \tag{2} \\
\mathrm{AC}^2 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^2 +t^2 \tag{3}
\end{eqnarray}です。
A, QはCを中心とする円周上にあるので、QC²=AC²と式(2), (3)より
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} -t \right)^2 &=& \frac{1}{4} +t^2 \\
\frac{9}{8} -\frac{3}{2} \, t +\frac{t^2}{2} &=& \frac{1}{4} +t^2 \\
4t^2 +12t -7 &=& 0 \\
(2t +7)(2t -1) &=& 0
\end{eqnarray}となりますが、 $t > 0$ なので
\begin{equation}
t = \frac{1}{2}
\end{equation}を得ます。

さらに式(1), (2)より
\begin{eqnarray}
\mathrm{QC} &=& \sqrt{2} \left( \frac{3}{2} -s \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\
s &=& 1
\end{eqnarray}となります。

以上から
\begin{equation}
\mathrm{Q} (1,1) ,\ \mathrm{C}\left( \frac{1}{2}, \ \frac{3}{2} \right)
\end{equation}で、3点B, C, Qは $y = -x +2$ 上にあることが分かります。
このとき△AQBは直角二等辺三角形で
\begin{equation}
\angle \mathrm{AQR} = 45^\circ
\end{equation}です。