日本数学オリンピック1997予選その2別解

は 5 次多項式で,、5 次方程式 は を 3 重根にもち、 は を 3 重根にもつ。 を求めよ。

問題文が簡単に書かれています。
まず、条件を数式で表してみましょう。

「 は を 3 重根にもつ」
を数式で表すと、次のようになります。
\begin{equation}
f(x) - 1 = (x+1)^3 g(x) \tag{1}
\end{equation}

また、「 は を 3 重根にもつ」
を数式で表すと、次のようになります。
\begin{equation}
f(x) + 1 = (x-1)^3 h(x) \tag{2}
\end{equation}
ここで、式(1), (2)の両辺をで微分します。
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& 3(x+1)^2 g(x) + (x+1)^3 g'(x) \\
&=& (x+1)^2 \left \{ 3g(x)+(x+1)g'(x) \right \} \tag{3} \\
\\
f'(x) &=& 3(x-1)^2 h(x) + (x-1)^3 h'(x) \\
&=& (x-1)^2 \left \{ 3h(x)+(x-1)h'(x) \right \} \tag{4}
\end{eqnarray}

ここで、は4次式であることを考慮すると、式(3), (4)により、定数を用いて、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& k(x+1)^2 (x-1)^2 \\
&=& k(x^2 -1)^2 \\
&=& k(x^4-2x^2+1) \tag{5}
\end{eqnarray}
となります。

式(5)の両辺を積分すると、
\begin{equation}
f(x) = k \left( \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3} x^3 + x \right) +C \tag{6}
\end{equation}となります。

ここで、
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{rcl}
f(1)-1 &=& 0 \\
f(-1)+1 &=& 0
\end{array}
\right.
\end{equation}を用いると、式(6)は次のようになります。

\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{8}{15} k+ C -1 &=& 0 \\
\displaystyle \frac{8}{15} k - C -1 &=& 0
\end{array}
\right.
\end{equation}となります。

この連立方程式を解くと、次のようになります。
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{ccc}
C &=& 0 \\
k &=& \displaystyle \frac{15}{8}
\end{array}
\right.
\end{equation}
これを式(6)に代入すると、求めるが得られます。
\begin{equation}
f(x)= \frac{1}{8} (3x^5 -10x^3 +15)
\end{equation}

答え
\begin{equation}
f(x)=\frac{1}{8} (3x^5-10x^3+15x)
\end{equation}