は 5 次多項式で,、5 次方程式
は
を 3 重根にもち、
は
を 3 重根にもつ。
問題文が簡単に書かれています。
まず、条件を数式で表してみましょう。
「 は
を 3 重根にもつ」
を数式で表すと、次のようになります。
\begin{equation}
f(x) - 1 = (x+1)^3 (ax^2+bx+c) \tag{1}
\end{equation}
問題文でf(x)は5次式とされています。
ここでは3次式
を因数にもつので、残りの因数は2次式です。
また、同様に「 は
を 3 重根にもつ」
を数式で表すと、次のようになります。
\begin{equation}
f(x) + 1 = (x-1)^3 (px^2+qx+r) \tag{2}
\end{equation}
ここで、
\begin{eqnarray}
(x+1)^3 &=& x^3+3x^2+3x+1 \\
(x-1)^3 &=& x^3-3x^2+3x-1
\end{eqnarray}
を用いて式(1), (2)を展開すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& ax^5 &+& (3a+b) &x^4 &+& (3a+3b+c)x^3 &+& (a+3b+3c)&x^2 &+& (b+3c)&x &+& (c-1) \tag{3} \\
f(x) &=& px^5 &+& (-3p+q)&x^4 &+& (3p-3q+r)x^3 &+& (-p+3q-3r)&x^2 &+& (-q+3r)&x &-& (r-1) \tag{4}
\end{eqnarray}
両者は恒に等しいので、式(3), (4)の係数を比較して、次の式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
a &&&&&=& p&& \tag{5} \\
3a &+&b &&&=-& 3p&+q& \tag{6} \\
3a &+&3b &+&c &=& 3p &-3q &+r \tag{7} \\
a &+&3b &+&3c &=-& p &+3q &-3r \tag{8} \\
&&b &+&3c &=&&-q &+3r \tag{9} \\
&&&&c-1 &=&&&-r+1 \tag{10}
\end{eqnarray}
未知数が6個、式は6本なので、式(5)~(10)は解くことができます。
解は、
\begin{equation}
a=\frac{3}{8}, \ b=-\frac{9}{8}, \ c=1
\end{equation}となります。*1
これを式(3)に代入すると、求めるを得ることができます。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \frac{1}{8} (x+1)^3 (3x^2-9x+8)-1 \\
&=& \frac{1}{8} (3x^5-10x^3+15x)
\end{eqnarray}
答え
\begin{equation}
f(x)=\frac{1}{8} (3x^5-10x^3+15x)
\end{equation}
*1:3×式(6)-式(8)としてを消去し、式(5)と式(10)を用いると、
\begin{equation}
16a=6
\end{equation}
よって
\begin{equation}
a=\frac{3}{8} \tag{11}
\end{equation}となります。
式(5), (6), (11)により、
\begin{equation}
q=b+\frac{9}{4} \tag{12}
\end{equation}となります。
また、式(7)で式(5)を用いると
が消去でき、3×式(7)-式(9)で
が消去できます。したがって、
\begin{equation}
8b=-8q
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
q=-b \tag{13}
\end{equation}となります。式(12), (13)より、
\begin{equation}
b=-\frac{9}{8} \tag{14}
\end{equation}が得られます。
式(9)+3×式(10)で
を消去し、さらに式(13)を用いて
を消去すると、
\begin{equation}
6c-3=3
\end{equation}すなわち、
\begin{equation}
c=1
\end{equation}が得られます。
*2:これで記事が100本になりました。
