フーリエ変換
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(x) \right] = \hat{f} \! (q) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, e^{-iqx}\, dx \tag{1}
\end{equation}フーリエ逆変換
\begin{equation}
\mathcal{F}^{-1} \left[ \hat{f} \! (q) \right] = f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{f} \! (q) \, e^{iqx} \, d q \tag{2}
\end{equation}
フーリエ変換の例をまとめます。
矩形パルス
\begin{equation}
f(x) = \left \{ \begin{array}{cl}
b & (|x| < a) \\
0 & (|x| > a)
\end{array} \right.
\end{equation}のとき
\begin{equation}
\hat{f} (q) = \frac{2b \sin aq}{q}
\end{equation}
矩形パルスのフーリエ変換 - 数式で独楽する
ガウス関数
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ \exp \left( -\frac{x^2}{\sigma^2} \right) \right] = \sqrt{\pi} \, \sigma \exp \left( -\frac{\sigma^2 q^2}{4} \right)
\end{equation}
ガウス関数のフーリエ変換 - 数式で独楽する
ディラックのデルタ関数
\begin{equation}
\mathcal{F} [\delta(x)] = 1
\end{equation}
ディラックのデルタ関数のフーリエ変換 - 数式で独楽する
指数関数
\begin{equation}
f(x) = \left \{ \begin{array}{cl}
e^{-ax} & (x > 0) \\
0 & (x < 0)
\end{array} \right.
\end{equation}のとき
\begin{equation}
\hat{f} (q) = \frac{1}{a +iq}
\end{equation}
指数関数のフーリエ変換 - 数式で独楽する
定数
\begin{equation}
\mathcal{F}[1] = 2\pi \, \delta(q)
\end{equation}
定数のフーリエ変換 - 数式で独楽する
指数関数(引数は純虚数)
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ e^{iax} \right] = 2\pi \, \delta(q -a)
\end{equation}
指数関数(引数は純虚数)のフーリエ変換 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} \left[ \exp \left( -iax^2 \right) \right] &=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp \left( i \, \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right) \\
\mathcal{F} \left[ \exp \left( iax^2 \right) \right] &=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp \left( -i \, \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right)
\end{eqnarray}
指数関数(引数は純虚数)のフーリエ変換 その2 - 数式で独楽する
三角関数
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} [\cos ax] &=& \pi \left \{ \delta(q -a) +\delta(q +a) \right \} \\
\mathcal{F} [\sin ax] &=& i \pi \left \{ \delta(q +a) +\delta(q -a) \right \}
\end{eqnarray}
三角関数のフーリエ変換 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} \left[ \cos ax^2 \right] &=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \\
\mathcal{F} \left[ \sin ax^2 \right] &=& -\sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right)
\end{eqnarray}
三角関数のフーリエ変換その2 - 数式で独楽する
べき乗(冪乗)
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} [x] &=& 2\pi i \, \delta' (q) \\
\mathcal{F} \left[ x^n \right] &=& 2\pi i \, \delta^{(n)} (q)
\end{eqnarray}
べき乗のフーリエ変換 - 数式で独楽する
