\begin{equation}
f(x) = \left \{ \begin{array}{cl}
e^{-ax} & (x > 0) \\
0 & (x < 0)
\end{array} \right. \tag{1}
\end{equation}のフーリエ変換は
\begin{equation}
\hat{f} (q) = \frac{1}{a +iq}
\end{equation}
指数関数のフーリエ変換についてみていきます。記号については次のリンクのものを用います。
フーリエ変換 - 数式で独楽する
なお指数関数は、積分が収束するように冒頭の形としています。
定義に従ってフーリエ変換を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\hat{f}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, f(x) \\
&=& \int_0^\infty dx \, e^{-iqx} \, e^{-ax} \\
&=& \left[ -\frac{e^{-(a +iq) x}}{a +iq} \right]_0^\infty \\
&=& \frac{1}{a +iq}
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a +iq} \, e^{iqx} d q = \left \{ \begin{array}{cc}
e^{-ax} & (x > 0) \\
0 & (x < 0)
\end{array} \right. \tag{2}
\end{equation}
これは
\begin{equation}
\hat{f}(q) = \frac{1}{a +iq}
\end{equation}のフーリエ逆変換です。
逆変換の定義と式(1)を組み合わせると得られます。
\begin{eqnarray}
\int_0^\infty \frac{q}{a^2 +q^2} \, \sin qx \, d q &=& \frac{\pi}{2} \, e^{-ax} & \quad (x > 0, \ a > 0) \tag{3} \\
\int_0^\infty \frac{1}{a^2 +q^2} \, \cos qx \, d q &=& \frac{\pi}{2a} \, e^{-ax} & \quad (x < 0, \ a >0) \tag{4}
\end{eqnarray}
式(2)の左辺は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a +iq} \, e^{iqx} d q
&=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{a -iq}{a^2 +q^2} \, (\cos qx +i \sin qx) d q \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \frac{a}{a^2 +q^2} \, \cos qx \, d q +\frac{1}{\pi} \int_0^\infty \frac{q}{a^2 +q^2} \, \sin qx \, d q
\end{eqnarray}と変形できます。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
この変形で
- 実部
は偶関数
- 虚部
は奇関数
です。
式(2)は、
\begin{equation}
\int_0^\infty \frac{a}{a^2 +q^2} \, \cos qx \, d q +\int_0^\infty \frac{q}{a^2 +q^2} \, \sin qx \, d q
= \left \{ \begin{array}{cc}
\pi e^{-ax} & (x > 0) \\
0 & (x < 0)
\end{array} \right. \tag{5}
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\int_0^\infty \frac{a}{a^2 +q^2} \, \cos qx \, d q +\int_0^\infty \frac{q}{a^2 +q^2} \, \sin qx \, d q &=& \pi e^{-ax} & \quad (x > 0) \tag{6} \\
\int_0^\infty \frac{a}{a^2 +q^2} \, \cos qx \, d q -\int_0^\infty \frac{q}{a^2 +q^2} \, \sin qx \, d q &=& 0 & \quad (x > 0) \tag{7}
\end{eqnarray}となります。
式(5)の後半でを
に置き換えると、式(7)が得られます。
式(6), (7)より、
\begin{eqnarray}
\int_0^\infty \frac{q}{a^2 +q^2} \, \sin qx \, d q &=& \frac{\pi}{2} \, e^{-ax} & \quad (x > 0, \ a > 0) \tag{3} \\
\int_0^\infty \frac{1}{a^2 +q^2} \, \cos qx \, d q &=& \frac{\pi}{2a} \, e^{-ax} & \quad (x < 0, \ a >0) \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。
