加法定理・正接の加法定理

三角関数の加法定理は、

\begin{eqnarray}
\sin (\alpha +\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}

で表されます。

正接の加法定理は、正弦、余弦の加法定理から、

\begin{equation}
\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{equation}

と得られます。

これは、
\begin{equation}
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \tag{1}
\end{equation}を用いると、証明できます。

まず、式(1)と同じように書いてみます。
\begin{equation}
\tan(\alpha+\beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}
\end{equation}
次に、正弦と余弦の加法定理を用います。
\begin{equation}
\tan(\alpha+\beta) = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}
\end{equation}
ここで、分母分子をで割ります。
\begin{equation}
\tan(\alpha+\beta) = \frac{\displaystyle \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\displaystyle 1-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}
\end{equation}
再び式(1)を用いると、求める関係式を得ることができます。
\begin{equation}
\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{equation}