三角関数の加法定理は、
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha +\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}
で表されます。
証明方法はいくつかあります。
このページでは、幾何学的に証明していきます。
図において、三角形OAB, OBC, ODC, CEBは全て直角三角形です。
辺DCに注目すると、
\begin{eqnarray}
\mathrm{DC} &=& \mathrm{DE} + \mathrm{EC} \\
&=& \mathrm{AB} + \mathrm{EC} \\
&=& \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}} \cdot \mathrm{OB} + \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CB}} \cdot \mathrm{CB}
\end{eqnarray}
となります。式の変形では、の三角比に持ち込むことを志向しています。
両辺をOCで割ると、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{OC}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}} \cdot \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}} + \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CB}} \cdot \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{OC}}
\end{equation}となります。
よって、
\begin{equation}
\sin (\alpha +\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\end{equation}を得ることができます。
同様に、辺ODに注目すると、
\begin{eqnarray}
\mathrm{OD} &=& \mathrm{OA} - \mathrm{DA} \\
&=& \mathrm{OA} - \mathrm{EB} \\
&=& \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}} \cdot \mathrm{OB} - \frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{CB}} \cdot \mathrm{CB}
\end{eqnarray}
となります。
両辺をOCで割ると、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OC}} = \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}} \cdot \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}} - \frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{CB}} \cdot \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{OC}}
\end{equation}となります。
よって、
\begin{equation}
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{equation}を得ることができます。
