京大 2018年理系第3問別解 - 数式で独楽する

$\alpha$ は $0 < \alpha \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$ を満たす定数とし、四角形ABCDに関する次の2つの条件を考える。
(i) 四角形ABCDは半径1の円に内接する。
(ii) $\angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{DAB} = \alpha$
条件(i), (ii)を満たす四角形の中で、4辺の長さの積
\begin{equation}
k = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cdot \mathrm{DA}
\end{equation}が最大となるものについて、$k$の値を求めよ。

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解答例

条件(i), (ii)より、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BCA} = \angle \mathrm{CDA} = \pi - \alpha
\end{equation}です。四角形は等脚台形です。ここで、
\begin{equation}
\angle \mathrm{CAB} = \angle \mathrm{ABD} = \beta
\end{equation}とすると、正弦定理により4辺の長さは、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AB} &=& 2\sin (\pi -\alpha -\beta) = 2\sin (\alpha +\beta) \\
\mathrm{CD} &=& 2\sin (\alpha -\beta) \\
\mathrm{BC} = \mathrm{DA} &=& 2\sin \beta
\end{eqnarray}となります。
正弦定理 - 数式で独楽する

式(1)を踏まえて、
\begin{eqnarray}
k &=& \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cdot \mathrm{DA} \\
&=& 16 \sin (\alpha +\beta) \sin (\alpha - \beta) \phi \sin^2 \beta \\
&=& 16 \sin^2 \beta (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) \\
&=& 16 \sin^2 \beta (\sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta) \\
&=& 16 \sin^2 \beta \left \{ \sin^2 \alpha (1 -\sin^2 \beta) -(1 -\sin^2 \alpha) \sin^2 \beta \right \} \\
&=& 16 \sin^2 \beta (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta) \\
&=& 16 \left \{ -\left( \sin^2 \beta -\frac{1}{2} \, \sin \alpha \right)^2 +\frac{1}{4} \, \sin^2 \alpha \right \} \\
& \leqq & 4 \sin^2 \alpha
\end{eqnarray}を得ます。
これより、
\begin{equation}
\sin^2 \beta =\frac{1}{2} \, \sin \alpha
\end{equation}のとき、最大値
\begin{equation}
k_{\mathrm{max}} = 4\sin^2 \alpha
\end{equation}となります。